Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 08.12.2006 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 1

Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)

Vorlesung am 08.12.2006

Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik

FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)

Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Marklein

E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de

URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

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Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle

Gegeben:

Gesucht:

Gesucht sind alle Ströme über die Knotenanalyse.

1

2

3

4

5

6

Q6

3 Ω1 Ω2 Ω1 Ω5 Ω1 Ω

10 V

RRRRRRU

A

B

C

D

6I

R6U1R

1I

R1U

Q6U

6R

4I

4RR4U

5RR5U3RR3U

5I3I

2I2R

R2U

6M

4M

5M

Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])



Lösung:

1. Spannungsquelle in Stromquelle umwandeln

Bild 2.95. Äquivalente Quellen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 105, 2005])

Q6

10 V

U

Q6 Q6 6U I R

QU QU

6I6I

6

1 ΩR 6

1 SG

Q6 10 AI

A

C

A

C



Bild 2.96. Dreimaschiges Netz mit einer Stromquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 106, 2005])

A

B

C

D

6I

R6U1R

1I

R1U

Q6U

6R

4I

4RR4U

5RR5U3RR3U

5I3I

2I2R

R2U

6M

4M

5M

Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])

1 2 3, ,U U U

Ergibt Netz mit unabhängigen Spannungen

Q6 10 AI 1U

6 1 SG D

6I

4I

5I

3U

2U

11 S3

G 4 1 SG

51

S5

G

C

B2 1 SG

2I

31 S2

G

3I

A

1I

Bezugspunkt!

2. Bezugspunkt festlegen und vollständigen Baum sternförmig einzeichen

G6I



Knoten A: 1. Zeile der Leitwertmatrix bildet sich aus den LeitwertenG1 = 1 S, G4 = 1/3 S, G6 = 1 S

1

2

3

7 /3

1 1 1 S 1S 1SKnoten A 10A3

Knoten B

Knoten C

U

U

U

Q6 10 AI

1U

6 1 SG D

G6I

6I

4I

5I

3U

2U

1 S3

1 S

1 S5

C

B

1 S2I

1 S2

3I

A

1I

Quellstrom IQ6 = 10 Afließt in den Knoten

Bezugspunkt!

Knoten-leitwert

Kopplungsleitwert

Kopplungs-leitwert

Q6 10 AI



Knoten B2. Zeile der Leitwertmatrixbildet sich aus den LeitwertenG2 = 1 S, G4 = 1 S, G5 = 1/5 S

Q6 10 AI 1U

6 1 SG D

G6I

6I

4I

5I

3U

2U

1 S

31 S

1 S5

C

B

1 S2I

1 S2

3I

A

1I

1

2

3

11/5

7Knoten A 10AS 1S 1S3

1 1Knoten B 1S 1 1 S S 0A5 5

Knoten C

U

U

U

kein Quellstrom am Knoten B

Bezugspunkt!

Knoten-leitwert

Kopplungs-leitwertKopplungsleitwert



Knoten C3. Zeile der Leitwertmatrixbildet sich aus den LeitwertenG3 = 1/2 S, G5 = 1/5 S, G6 = 1 S

Q6 10 AI 1U

6 1 SG D

G6I

6I

4I

5I

3U

2U

1 S3

1 S

1 S5

C

B

1 S2I

1 S2

3I

A

1I

1

2

3

17 /10

7Knoten A 10AS 1S 1S3

11 1Knoten B 1S S S 0A5 51 1 11S S 1 SKnoten C 10A5 2 5

U

U

U

Bezugspunkt!

Quellstrom IQ6 = 10 Afließt von dem Knoten weg.

Knoten-leitwert

Kopplungs-leitwert

Kopplungsleitwert

Q6 10 AI



1

2

3

Q

7 10AS 1S 1S3

11 11S S S 0A5 51 171S S S 10A5 10

U

U

U

U IG

Leitwertmatrix Spannungs-vektor

Stromvektorder Quellströme

Q

: Leitwertmatrix: Spannungsvektor

: Stromvektor

der Quellströme

GUI

Leitwertmatrixist symmetrisch!

1

2

3

7 10V1 13

11 11 0V5 51 171 10V5 10

U

U

U

1S



1 2 3

1 2 3

10 2 17 100V119 17 17 170V

3

U U U

U U U

1 2 3

1 2 3

1 2

30 6 51 300V( ) 119 51 51 510V( ) 89 57 210V

U U UU U UU U

1 222 36 30 VU U 1 2

1 2

1 2

1254 2052 1710 V ( ) 3204 2052 7560 V( ) 1950 0 5850 V

U UU UU U

1 289 57 210 VU U

3. Zeile *10 auf 1. Zeile *17 addieren:

-> mal -57 ->

-> mal 36 ->

1 222 36 30VU U

1 2 3

1 2 3

1 2

7 10V

3( ) 5 11 0

22( ) 12 0 10V3

U U U

U U U

U U

U3 eliminieren: 2. Zeile *(-5) und auf 1. Zeile addieren:

-> mal 3 ->

-> mal 3 ->

15850 V 3V1950

U

1

2

3

7 10V1 13

11 11 0V5 51 171 10V5 10

U

U

U



1 3VU 1

2210 V 89

57210 V 89 3 V

57210 V 267 V

5757 V

57

UU

1 289 57 210 VU U

2 1 VU

1 2 3

3 1 2

1 23

10 2 17 100V17 100V 10 2

100V 10 217

100V 10 3V 2 1V17

100V 30V 2V17

68V174V

U U UU U U

U UU

3 4VU



1

2

3

3V

1V

4V

U

U

U

4 1 2

5 2 3

6 3 1

2V

5V

7V

U U U

U U U

U U U

Also folgt also für die 3 unabhängigen Spannungen und die 3 abhängigen Spannungen (Umlaufgleichungen):

1 1 1

3 3 3

5 5 5

3V 1A3Ω

4V2A

2Ω5V 1A5Ω

I U G

I U G

I U G

2 2 2

4 4 4

6 Q6 6 Q6 6 6

1V1A

1Ω2V 2A1Ω

1V 7V10A 3A

1Ω 1ΩG

I U G

I U G

I I I I U G

Über die Leitwerte folgen dann die Ströme:



Q6 10 AI 1 3 VU

6 1 SG D

G6 7 AI

6 3 AI

4 2 AI

5 1 AI 3 4 VU

2 1 VU

11 S3

G 4 1 SG

51 S5

G

C

B2 1 SG

2 1 AI

31

S2

G

3 2 AI

A

1 1 AI

Bezugspunkt!

4

2 VU

5

5 VU

6

7 VU


2.8.5 Vergleich zwischen Umlauf- und Knotenanalyse

Z

1

1

1

2

1

1 2

1 2 ... 1

K

K

K K

Z

K

Z

K

Z K Z

K K Z

K K K Z

K K K

Wie viele Zweige kann ein Netz mit K Knoten maximal haben?

(jeweils Maximalzahl Zweige)

Zu einem Netz mit K Knoten (oben hier K = 4) kann man mit einem weiteren Knoten (hier der Knoten E)zusätzliche Zweige hinzufügen (hier 4 zusätzliche Zweige, also so viele Zweige wie im vorherigen Netz Knoten waren:

Bild 2.98. Zur Herstellung des Zusammenhanges zwischen K und (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 108, 2005])

Beim Übergang vonK nach K + 1 folgt

1 12KK

Z K max

12K

KZ K

A

B

C

DE

neu alt altZ K Z

11K KZ K Z

1 22K KZ K Z


2.8.5 Vergleich zwischen Umlauf- und Knotenanalyse1B K

maxV Z B Zahl der Baumzweige bei K Knoten:Damit maximal mögliche Zahl an Verbindungszweigen:

Knoten-anzahl

K

Anzahl der Baumzweige

= Zahl der Unbekannten

KnotenanalyseB = K - 1

MaximaleAnzahl der

Zweige

Anzahl der Ver-bindungszweige

= Zahl der Unbekannten

Umlaufanalyse

2 1 1 0 (-1)

3 2 3 1 (-1)

4 3 6 3 0

5 4 10 6 2

6 5 15 10 5

7 6 21 15 9

max1

2KZ K

maxV Z B V B

Bei V > B ergibt Knotenanalyse einfacheres Gleichungssystem (weniger Unbekannte, ab K ≥ 5 möglich).Ab K = 5 Knoten ist Knotenanalyse vorteilhafter, außer wenn Spannungen und/oder Ströme vorgegeben = eingeprägt sind (damit entsprechend weniger Unbekannte).

bis zu dem die Umlaufanalyse effizienter ist, zu höheren Knotenzahlen.Wenn Zahl der Zweige deutlich kleiner als o. g. MaximalzahlZ, verschiebt sich der Punkt,

Gleicher Aufwand für Umlauf- undKnotenanalyse

Bei dieser Betrachtung werden alle Knoten nur einfach über einen Zweig verbunden!



1K 2K 3K

max

max

2 12 12

2 1 10

Z

BV Z B

max

max

3 13 32

3 1 21

Z

BV Z B

4K

max

max

4 14 62

4 1 33

Z

BV Z B

5K

max

max

5 15 102

5 1 46

Z

BV Z B

6K

max

max

6 16 152

6 1 510

Z

BV Z B

max1 1 11 0

2 21 1 1 0

0

KZ K

B KV



2K

max

max

11

0

ZBV Z B

1G 3G2G

B

A

U U U

Gleiche Spannung!

Nur eine Unbekannte bei der Knotenanalyse!

… man könnte beliebig vieleBaumzweige anhängen!

Dies wird aber bei der obigenBetrachtung nicht zugelassen.

Es werden nur die Zweige betrachtet,die die Knoten nur einmal verbinden!

Bei der eben durchgeführten Betrachtung nicht erlaubt ist beispielsweise …


Beispiel 2.34: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Spannungsquelle

2

3

4

5

6

Q1

2 S3 S4 S6 S8 S7 V

GGGGG

U

Gegeben:

Gegeben sind alle Leitwerte und die Quellspannung

Gesucht:

Gesucht sind alle Spannungen über die Knotenanalyse. Das heißt, gesucht sind die Spannungen U2 und U3, da UQ1 gegeben und damit bekannt ist.

Bild 2.99. Dreimaschiges Netz mit einer idealen Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 108, 2005])

D B

C

1I

Q1U

C

6G D B

4G

3G 5G

2G

3 ?U

2 ?U

4U

5U

AA

6U

4 3 6 3 K B Z V Z B 3 3

BV

KnotenanalyseUmlaufanalyse

eigentlich führt dies jeweils auf 3 Gleichungen

mit 3 Unbekannten-> gleicher Aufwand

UQ1 ist aber gegeben, d.h. bei der Knotenanalyse sind nur 2 Unbekannte zu bestimmen, wobei bei der Umlaufanalyse 3 Unbekannte berechnet werden müssten.



Lösung:

1. Bezugspunkt festlegen2. Baum sternförmig festlegen

D B

C

1I

Q1U

C

6G D B

4G

3G 5G

2G

3U

2U

4U

5U

AA

6U

Bezugspunkt!

6G

3G

4G 5G

2G

BA C

Q1U 2 ?U 3 ?U 1I

D



4 6 4 6 Q1 1

4 2 4 5 5 2

6 5 3 5 6 3

A: B: 0C: 0

G G G G U IG G G G G UG G G G G U

3. Leitwertmatrix aufstellen 6G

3G

4G 5G

2G

BA C

Q1U2 ?U 3 ?U

1I

Die untersten zwei Zeilen führen direkt auf zwei Gln. mit zwei Unbekannten,da U1 bekannt ist ( I1 nur Platzhalter, wird zu Lösung nicht benötigt ):

2 4 5 2 5 3 4 Q1G G G U G U G U

5 2 3 5 6 3 6 Q1G U G G G U G U

2 312 6 28 VU U 2 312 6 28 VU U

2 36 17 56 VU U 2 312 34 112 VU U

328 140 V U

Zahlen eingesetzt:

(*2)

3 5 VU

3 5 VU 212 28 V 6 5 V U in erste Gl. einsetzen: 229

V6

U

D



4 Q1 2

297V V

6

U U U

5 2 3

29 V 5 V6

U U U

6 3 Q1

5V 7V

U U U

Damit können die abhängigen Spannungen in den Verbindungszweigen berechnet werden:

413 V6

U

51 V6

U

6 2VU

Bild 2.99. Dreimaschiges Netz mit einer idealen Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 108, 2005])

D B

C

1I

Q1U

C

6G D B

4G

3G 5G

2G

3U

2U

4U

5U

AA

6U


Beispiele zur Umlauf- und Knotenanalyse …


Ende der Vorlesung

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