Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 28.11.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 28.11.2006 Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 28.11.2006 1

Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)

Vorlesung am 28.11.2006

Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik

FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)

Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Marklein

E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de

URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

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http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html


2.8.2 Topologische Grundbegriffe beliebiger Netze

A

B

C

D

6I

R6U1R

1I

R1U

Q6U

6R

4I

4RR4U

5RR5U3RR3U

5I3I

2I2R

R2U

6M

4M

5M

Schaltung: Netzwerk (Netz)

6

41

B

C

D

3 55

46

2

A

Graph: Topologie des Netzwerkes (Netz)



Definition: (Topologie)Die Topologie eines Netzes wird durch einen Graphen aus Knoten und Zweigen dargestellt:

Graph mit 4 Knoten und 6 Zweigen sowie 3 Umläufe (= 3 Maschen, wenn

6

41

A

B

C

D

3 55

46

2

Bild 2.78. Struktur eines Netzes (Graph) mit 4 Knoten und 3 Maschen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 89, 2005])

Definition: (Zweig)Die Verbindung zwischen zwei Knoten nennt man Zweig. Jeder Zweig trägt einen Richtungspfeil.

in dem Umlauf kein Zweig liegt.

Knoten

Umlauf (= Masche)

Zweig

Richtungspfeil



6 Q6 6RU U U

Definition: (Zweigspannung und Zweigstrom)Jeder Zweig trägt einen Richtungspfeil, durch den die Zählpfeile der Zweigspannung und desZweigstromes (willkürlich) festgelegt werden.

6U

1U 4U

2U3U

5U

6I

1I 4I

2I

3I5I

Graph mit K = 4 Knoten und Z = 6 Zweigen mit Richtungspfeilen und U-Zählpfeile und I-Zählpfeile

Bild 2.79. Festlegung der U- und I-Zählpfeile durch die in Bild 2.78 gewählten Zweigrichtungen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 89, 2005])

Jede Zweigspannung, z. B. für Zweig 6 U6, kann sich aus einem Ohmschen Spannungsabfall, z. B. UR6,

und einer Quellspannung, z. B. UQ6, zusammensetzen, d. h.



6 Q6 6RU U U z. B. Zweig 6:

Definition: (Vollständiger Baum)In vollständigem Baum sind alle Knoten miteinander verbunden,

ein vollständiger Baum mit K Knoten hat B = (K - 1) Zweige.

Definition: (Topologie)Die Topologie eines Netzes wird durch einen Graphen aus Knoten und Zweigen dargestellt:

Definition: (Baum)Linienkomplex ohne geschlossenen Umlauf heißt Baum.


Bild 2.79. Festlegung der U- und I-Zählpfeile durch die in Bild 2.78 gewählten Zweigrichtungen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 89, 2005])

6U

1U 4U

2U3U

5U

6

41

A

B

C

D

3 55

4

6 6I

1I 4I

2I

3I5I

2

Graph mit 4 Knoten und 3 Maschen

1

4 1

3

B K

B

Beispiel: Für die Schaltung in Bild 2.78

Anzahl der Zweige für einenvollständigen Baum



Bild 2.80. Beispiele für Bäume im vollständigen Viereck(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 89, 2005])

Beispiele für Bäume im vollständigen Viereck

Struktur eines Netzes (Graph) mit 4 Knoten und 3 Maschen


6

41

B

C

D

3 55

46

2

A

Graph

Bäumevollständige

Bäume!

1 1

11

6

44

3 3

3

2

5



Definition: (Baumzweige)Baumzweige = Zweige eines vollständigen Baumes.

Per Definition können in den Teilen eines Netzes, die durch den Baum abgebildet werden, KEINE Ströme fließen, ohne dass Verbindungszweige geschlossen werden!

Definition: (Verbindungszweige)Verbindungszweige = andere Zweige außerhalb des Baumes.

Ein Netz mit K Knoten und Z Zweigen hat im allgemeinen

V = Z - B = Z - ( K - 1 ) = Z + 1 - KVerbindungszweige.

(Hier: Zweige 1,2,3 = Baumzweige)

6

41

A

B

C

D

3 55

46

2

(Hier: Zweige 4,5,6 = Verbindungszweige)

Baum

6 3 3V Z B

Z.B. gilt für die Schaltungin Bild 2.78



Anzahl der vollständigen Bäume eines Netzes mit

k Knoten: nb = k(k-2)

C

Bild 2.81. Die möglichen vollständigen Bäume des vollständigen Vierecks (Bild 2.74)(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 90, 2005])

Anzahl der möglichen vollständigen Bäume eines

Netzes mit K Knoten 2K

BN K

2 4 2 24 4 16KBN K

6

41

A

BD

3 55

46

2

Baum

C


6

41

A

B

C

D

3 55

46

2

Baum


kein ebenes Netz!

Bild 2.82. Vollständiges Fünfeck(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 90, 2005])

Definition: (Ebenes Netz)Ein Netz, dessen Zweige sich kreuzungsfrei in einer Ebene darstellen lassen, nennt man eben, also ein ebenes Netz.

Kreuzung von Zweigen!

ebenes Netz!


2.8.3 Umlaufanalyse2.8.3.1 Unabhängige und abhängige Ströme; Maschenströme

A

B

C

D

6I

R6U1R

1I

R1U

Q6U

6R

4I

4RR4U

5RR5U3RR3U

5I3I

2I2R

R2U

6M

4M

5M

Schaltung: Netzwerk oder einfach Netz

Bild 2.84. Maschen und Maschenströme des Netzes 2.78(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 91, 2005])

4

2

1

12

4I

4I

4I

5I

5I

5I

6I 6I

6I

Umlauf 5

Umlauf 63

53

6

Definition: (Maschen) - WiederholungMaschen sind Umläufe, die im Innern keine Zweige enthalten.Hier: M4, M5, M6

6

41

B

C

D

3 55

46

2

A

Graph

Umlauf 4= Masche

4 = Masche 5

= Masche 6


2.8.3.1 Unabhängige und abhängige Ströme; Maschenströme

Netzstruktur dazu, vollständiger Baum aus Zweigen 1,2,3:

(2.101d)

► Unabhängige Ströme = Ströme in Verbindungszweigen (Hier: I4, I5, I6)

► Abhängige Ströme = Ströme in Baumzweigen (Hier: I1, I2, I3)

► Was abhängig oder unabhängig ist, hängt also von der Festlegung des Baumes ab!


6

41

B

C

D

3 55

46

2

A

Bild 2.83. Unabhängige Ströme in den Verbindungszweigen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 91, 2005])

1I

B

C

D

Q6I

Q5I

3I2I

1I

3I

2I

1 2 3 0I I I

In allen Verbindungszweigen können die Ströme beliebig vorgegeben sein (symbolisiert durch Stromquellen).

Die Ströme im Baum sind dann(über die Knotengleichungen)

abhängig davon

AQ4I

Unabhängige Ströme in dieVerbindungszweige (I4, I5, I6 )

Abhängige Ströme indie Baumzweige (I1, I2, I3 )


Bild 2.83. Unabhängige Ströme in den Verbindungszweigen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 91, 2005])

1I

B

C

D

Q5I

3I2I

2.8.3.1 Unabhängige und abhängige Ströme; Maschenströme

1 4 6I I I

► Unabhängige Ströme nennen wir Umlaufströme (= Maschenstrom, falls Umlauf = Masche ist!).

(Hier: I4, I5, I6 ).

► Im Baum können nur Ströme fließen, wenn über Verbindungszweige geschlossene Stromkreise entstehen (Eigenschaft des Baumes per Definition).

► Nach dem Überlagerungsprinzip (Superpositionsprinzip) sind demnach die Umlaufströme linear unabhängig.

► Ströme in einem Baumzweig können dann durch Überlagerung der durch diesen Zweig fließenden

Umlaufströme gebildet werden, z. B. gilt für den Strom I1

(2.101a)

Bild 2.84. Maschen und Maschenströme des Netzes 2.78(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 91, 2005])

4

2

1

12

4I

4I

4I

5I

5I

5I

6I 6I

6I

Umlauf 4

Umlauf 5

Umlauf 6

3

53

6

a b c

AQ4I

Q6I


6I

R6U1RR1U

Q6U

6R

4I

3RR3U

5I

6

4

5

2.8.3.2 Das Schema zum Aufstellen der Umlaufgleichungen

1 3 6 Q6R R RU U U U

Spannungen über das Ohmschen Gesetz als Funktion der Umlauf- bzw. Maschenströme formulieren:

Für Masche 6 gilt (siehe Bild 2.76)

1 4 3 5 1 3 6 6 Q6R I R I R R R I U

► Umlauf 6 : Umlaufwiderstand R1 + R3 + R6 für Strom I6

► Umläufe 4 und 6: Kopplungswiderstand R1

► Umläufe 5 und 6: Kopplungswiderstand R3

R1 4 6 1

R3 5 6 3

R6 6 6

U I I R

U I I R

U R I

1 3 6 Q6 0R R RU U U U

6 64 6 1 5 6 3

1 3 6 Q6

4 6 1 5 6 3 6 6 Q6

1 4 3 5 1 3 6 6 Q6

R R R

R II I R I I R

U U U U

I I R I I R R I U

R I R I R R R I U

bzw.

Ergibt, siehe auch Gl. (2.104c):



Anders formuliert:

► Jeder unabhängige Strom ergibt einen Umlaufstrom. (Hier: I4, I5, I6 )

► Jeder Umlauf führt auf eine Gleichung → lineares Gleichungssystem (LGS)

► Dazu wird auf jedem Umlauf das 2. Kirchhoffsches Gesetz ausgewertet!

► In jedem Baumzweig fließen mehrere Umlaufströme, hier I4, I5, I6, die den Faktor, mit dem der

andere Strom zum Spannungsfall im aktuellen Umlauf beiträgt, bestimmt. Dies liefert die

sogenannten Kopplungsterme in der Widerstandsmatrix (R-Matrix).

6I

R6U1RR1U

Q6U

6R

4I

3RR3U

5I

6

4

5

1 4 3 5 1 3 6 6 Q6R I R I R R R I U



Schema zum Aufstellen einer Umlaufgleichung in Matrixform:

Q

Q11 11 12 1 1

Q22 21 22 2 2

Q1 2

Umlauf mit :

Umlauf mit :

Umlauf mit :

N

N

NN N N NN N

UI R R R I

UI R R R I

UI R R R I

IR U

1. Für die Schaltung einen vollständigen Baum auswählen.In den Verbindungszweigen Zählpfeile für die unabhängigen Ströme eintragen.

► gesuchte Ströme möglichst in Verbindungszweige legen

► Spannungsquellen möglichst in Verbindungszweige legen

► Stromquellen, falls vorhanden und nicht in Spannungsquellen umgewandelt, in

Verbindungszweige legen

2. Die Elemente des Stromvektors {I}, I1,...,IN, auf der linken Gleichungsseite, sind die

unabhängigen Ströme.

► Jedem unabhängigen Strom wird ein Umlauf, bestehend aus dem zugehörigen

Verbindungszweig zugeordnet, der sich nur über Baumzweige schließt.

► Die Umlaufrichtung wird entsprechend dem Stromzählpfeil gewählt.

Q UR I

Q

: Widerstandsmatrix

: Stromvektor

: Spannungsvektor der Quellspannungen

R

I

U

Widerstandsmatrix ist symmetrisch!

Tij jiR R R R

Der Index ,,T" steht für transponiert!



Für jeden Umlauf wird jetzt eine Gleichung (Zeile des obigen Gleichungssystems) aufgestellt:

3. Hauptdiagonalelemente: Rij für i = j der Widerstandsmatrix [R] sind die Umlaufwiderstände des zu dem jeweiligen Strom gehörigen Umlaufs. Der Umlaufwiderstand ist die Summe aller Widerstandswerte in allen Zweigen, die den aktuellen Umlauf bilden.

4. Nebendiagonalelemente: Rij für i ≠ j der Widerstandsmatrix [R] sind die Kopplungswiderstände:

► positives Vorzeichen, wenn Umlaufströme, die der Widerstand verknüpft, im Widerstand gleichgerichtet sind.

► negatives Vorzeichen, wenn die Umlaufströme, die der Widerstand verknüpft, im Widerstand entgegengesetzt gerichtet sind. Der Kopplungswiderstand ist die Summe aller Widerstände in den Zweigen, die beiden Umläufen gemeinsam sind. ( Der Umlauf, für den die Gleichung aufgestellt wird und Umlauf zu dem unabhängigen Strom, mit dem die aktuelle Spalte der Widerstandsmatrix multipliziert wird. )

5. Die Elemente des Spannungsvektors {U}, U1,...,UN, auf der rechten Gleichungsseite werden gebildet aus der Summe aller Quellenspannungen des Umlaufs: negatives Vorzeichen, wenn

Spannungszählpfeil in Umlaufrichtung, sonst positives Vorzeichen.

Schema zum Aufstellen einer Umlaufgleichung in Matrixform:

Q

Q11 11 12 1 1

Q22 21 22 2 2

Q1 2

Umlauf mit :

Umlauf mit :

Umlauf mit :

N

N

NN N N NN N

UI R R R I

UI R R R I

UI R R R I

IR U

Q UR I

R

Hauptdiagonalelemente

Nebendiagonalelemente


Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])

A

B

C

D

6I

R6U1R

1I

R1U

Q6U

6R

4I

4RR4U

5RR5U3RR3U

5I3I

2I2R

R2U

6M

4M

5M


Für obiges Beispiel also

1 2 4 2 1 4

2 2 3 5 3 5

Q61 3 1 3 6 6

0

0

R R R R R I

R R R R R I

UR R R R R I

Widerstandsmatrix ist symmetrisch!

Durch Ausnutzung der Baumstruktur in dem Rechenschema werden die Knotengleichungen implizit in die Umlaufgleichungen eingebaut, man braucht sie also nicht aufstellen und lösen!

1I

3I

2I

Tij jiR R R R

Der Index ,,T" steht für transponiert!


Ende der Vorlesung

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