Elektrodynamik || Maxwellgleichungen

IV Maxwellgleichungen: Grundlagen

16 Maxwellgleichungen

In Teil II und III haben wir die Elektro- und Magnetostatik getrennt behandelt. Für

zeitabhängige Vorgänge gibt es Kopplungen zwischen elektrischen und magneti-

schen Feldern, die wir als „Faradaysches Induktionsgesetz“ und als „Maxwellschen

Verschiebungsstrom“ einführen. Durch die zugehörigen Kopplungsterme werden

die Feldgleichungen der Elektro- und Magnetostatik zu den Maxwellschen Glei-

chungen verallgemeinert. Anschließend wird die Energie- und Impulsdichte des

elektromagnetischen Felds bestimmt.

Die Feldgleichungen der Elektro- und Magnetostatik lauten

divE(r) = 4π�(r) , rotE(r) = 0 (Elektrostatik)

rotB(r) = (4π/c) j(r) , divB(r) = 0 (Magnetostatik)(16.1)

Hieraus folgt die Kontinuitätsgleichung in der Form

div j (r) = 0 (16.2)

Das elektrische und das magnetische Feld werden durch ihre Kraftwirkungen defi-

niert. Auf eine Punktladung mit dem Ort r0 und der Geschwindigkeit v = r0 wirken

die Kräfte (5.11) und (13.22):

F = q E(r0) und F = qv

c× B(r0) (16.3)

Man kann leicht sehen, dass es Zusammenhänge zwischen dem elektrischen und

magnetischen Feld geben muss, also dass (16.1) nicht die allgemein gültige Theo-

rie darstellen kann: In einem Inertialsystem (IS) gebe es eine statische Ladungs-

verteilung �(r). In einem relativ dazu bewegten IS′ erscheint diese Verteilung alsLadungs- und Stromverteilung. Während es in IS nur ein elektrisches Feld gibt,existiert in IS′ neben dem elektrischen auch ein magnetisches Feld. Daher transfor-mieren sich die Felder beim Übergang zwischen Inertialsystemen ineinander; sie

hängen teilweise vom Standpunkt des Beobachters ab.

145

T. Fließbach, Elektrodynamik, DOI 10.1007/978-3-8274-3036-6_17© Springer-Verlag Berlin Heidelbcrg 2012

146 Teil IV Maxwellgleichungen: Grundlagen

Für einen Grenzfall können wir die Transformation der Felder aus (16.3) ab-

lesen. In einem IS bewege sich ein Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit v in

einem elektrischen Feld E und einem magnetischen Feld B. Nach (16.3) wirkt die

Kraft q (E + (v/c) × B) auf das Teilchen. Wir gehen nun ins Ruhsystem IS′ desTeilchens. Wegen v′ = 0 ergibt sich jetzt aus (16.3) die Kraft qE′, wobei E′ daselektrische Feld in IS′ ist. Im nichtrelativistischen Grenzfall (bei Vernachlässigungvon Termen O(v2/c2)) sind beide Kräfte gleich. Daher gilt

E′ = E + v

c× B (v � c) (16.4)

für die Transformation von IS (mit E und B) zu IS′ (mit E′). Dies bedeutet zumBeispiel: Bereits ein magnetisches Feld in IS (also E = 0 und B �= 0) impliziert

ein elektrisches Feld in IS′ (also E′ �= 0).Wir stellen jetzt die Verallgemeinerung von (16.1) für zeitabhängige Vorgänge

auf. Dazu versehen wir alle Felder mit einem Zeitargument und fügen zwei zusätz-

liche Terme ein:

divE(r, t) = 4π�(r, t) , rotE(r, t)+ 1

c

∂B(r, t)

∂ t︸︷︷︸Induktion

= 0

rotB(r, t) − 1

c

∂E(r, t)

∂ t︸︷︷︸Verschiebungsstrom

= 4π

cj (r, t) , divB(r, t) = 0

(16.5)

DieseMaxwellgleichungenwurden 1864 vonMaxwell aufgestellt. Die zusätzlichen,mit Induktion und Verschiebungsstrom gekennzeichneten Terme werden in den fol-genden beiden Abschnitten begründet.

Wir leiten die Maxwellgleichung mit divE nach der Zeit ab und bilden die

Divergenz der Gleichung mit rotB. Die Kombination der beiden resultierenden

Gleichungen ergibt die Kontinuitätsgleichung

∂�(r, t)

∂ t+ div j(r, t) = 0 (16.6)

Die Kräfte (16.3) werden zur Lorentzkraft F L zusammengefasst:

F L = q(E(r0, t)+

v

c× B(r0, t)

)(16.7)

Die Gleichungen (16.5) und (16.7) sind die Grundgleichungen der Elektrodynamik.

Aus ihnen werden alle relevanten Aussagen abgeleitet.

Kapitel 16 Maxwellgleichungen 147

��

��

��

.........................................

..................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

B

N

S

2 1

Ca

InduzierteSpannung U

� �Bewegter Magnet

Abbildung 16.1 Ein Magnet wird relativ zu einer ruhenden Drahtschleife bewegt. Dann

induziert das zeitabhängige Magnetfeld eine Spannung, die an den beiden Drahtenden ge-

messen werden kann. Dieser Effekt wird durch das Faradaysche Induktionsgesetz beschrie-

ben. Auf diesem Effekt beruht die Stromerzeugung in einem Dynamo oder Generator,

aber beispielsweise auch die Funktion eines Transformators oder eines elektrodynamischen

Mikrophons. – Bei der angegebenen Richtung von C zeigt die Fläche a zum Betrachter hin.

Faradaysches Induktionsgesetz

Wir integrieren die Gleichung rotE = −B/c über eine zeitunabhängige Fläche a

mit dem Rand C und verwenden den Stokesschen Satz:∮C

dr ·E = −1c

∫a

da · ∂B(r, t)∂ t

(16.8)

Eine gegebene KonturC kann durch verschiedene Flächen überspannt werden, etwa

a1 und a2. Die Differenz∫a1da · B − ∫

a2da · B verschwindet aber; denn sie kann

in ein geschlossenes Oberflächenintegral∮da · B = ∫

d3r divB = 0 überführt

werden. Die genaue Wahl der Fläche ist daher nicht relevant.

Schneidet man die geschlossene Kontur auf, dann ergeben sich zwei unmittelbar

benachbarte Endpunkte. Zwischen ihnen ergibt sich die Spannung

U =∫ 2

1

dr ·E =∮dr ·E (16.9)

Für infinitesimal benachbarte Punkte (und stetiges E-Feld) ist das Linienintegral

von 1 bis 2 gleich dem Integral über die geschlossene Kontur C. Man kann die in-duzierte Spannung U messen, wenn man längs der aufgeschnittenen Kontur C eine

Drahtschleife legt (Abbildung 16.1). Aufgrund der Kräfte qE verschieben sich die

beweglichen Ladungen im Draht solange, bis das mittlere elektrische Feld im Draht

verschwindet (Teil VI). Die resultierenden Ladungsansammlungen an den Draht-

enden führen dann dazu, dass sich die Spannung U an dieser Stelle aufbaut1. Diese

Induktion einer Spannung wurde 1831 durch Faraday beobachtet. Diese Messungverifiziert die Gleichung rotE = −B/c .

1Da das mittlere elektrische Feld im Draht verschwindet, wird die elektrische Feldstärke in den

Spalt von 2 → 1 verschoben, U = ∮dr · E = ∫ 1

2dr · Espalt. Damit hat die am Spalt gemessene

Spannung das umgekehrte Vorzeichen.


Die induzierte Spannung ist so gerichtet, dass der von ihr hervorgerufene Strom

das angelegte Magnetfeld schwächt. Dies wird als Lenzsche Regel formuliert: DieInduktionsströme sind so gerichtet, dass ihr Magnetfeld das verursachende Magnet-

feld schwächt. Dies führt zu einer Erklärung des Diamagnetismus (Kapitel 32).

Wir kommen nun zum Fall einer zeitabhängigen Kontur C(t) und Fläche a(t).

Wenn man zu einem Zeitpunkt t die Maxwellgleichung rotE = −B/c über die

Fläche a(t) integriert, erhält man wieder die Form (16.8). In diesem Fall ist die linke

Seite aber nicht die induzierte Spannung; insofern ist diese Form der Gleichung oh-

ne besonderes Interesse. Um die Induktionsspannung für eine zeitabhängige Kon-

tur zu erhalten, muss man die elektrostatische Kraft qE durch die Lorentzkraft

q(E+ (v/c)×B ) ersetzen; q steht hier für eine mit der Kontur mitbewegte Probe-

ladung, und v ist die Geschwindigkeit des betrachteten Linienelements dr . Damit

erhalten wir die Induktionsspannung

U =∮C(t)

dr ·(E + v

c× B

)(16.10)

Man kann dies auch formal ableiten2; dazu wird aber das Transformationsverhalten

der Felder (Kapitel 18 und 22) benötigt.

Die Verallgemeinerung der rechten Seite von (16.8) berücksichtigt die Ände-

rung des magnetischen Flusses aufgrund der Zeitabhängigkeit der Fläche a(t):

U = −1c

d

dt

∫a(t)

da · B(r, t) = −1c

dΦm

dt(16.11)

Dies ist die Hauptform des Faradayschen Induktionsgesetzes (auch FaradayschesGesetz genannt). Das Faradaysche Induktionsgesetz besagt: Die induzierte Span-

nung wird durch die Änderung des magnetischen Flusses Φm =∫da · B durch

die Schleife bestimmt. Für eine zeitunabhängige Kontur reduziert sich (16.11) auf

(16.8); auch die speziellere Aussage (16.8) wird als Faradaysches Induktionsgesetz

bezeichnet.

Wir zeigen nun noch die Äquivalenz von (16.11) und (16.10). Für die zeitliche

Änderung eines Flächenelements lesen wir da/dt = (v × dr) aus Abbildung 16.2

ab. Dies verwenden wir in

dΦm

dt=∫

da

dt· B +

∫da · ∂B(r, t)

∂ t

(16.8)= −c∮dr ·

(E + v

c× B

)(16.12)

Damit ist (16.11) aus den Maxwellgleichungen und der Lorentzkraft abgeleitet.

Eine Anwendung der Induktion ist die Wirbelstrombremse. Eine leitende, rotie-

rende Metallscheibe wird an einer Stelle einem konstanten Magnetfeld ausgesetzt,

2Im momentanen Ruhsystem IS′ eines Linienelements ist die induzierte Spannung dU ′ = E′ ·dr ′. Mit dU ′ = γ dU (Nullkomponente des 4-VektorsAα),E

′‖ = E‖ undE′⊥ = γ (E⊥+(v/c)×B)

aus (22.6), und dr ′‖ = γ dr‖ und dr ′⊥ = dr⊥ (Längenkontraktion) erhalten wir schließlich dU =dr · (E + (v/c)×B).


.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................. ......................................................... ......................................................... ......................................................... ......................................................... .........................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................&

&'�

Kontur C

v dt

dr da = v dt × dr

Abbildung 16.2 Das Faradaysche Induktionsgesetz (16.11) lässt eine Zeitabhängigkeit

der Kontur C(t) zu. Wenn sich ein herausgegriffenes Linienelement dr mit der Geschwin-

digkeit v bewegt, liefert es den Beitrag da = v dt × dr zur Änderung der Fläche. — Man

kann für jedes einzelne Linienelement dr eine lokale Geschwindigkeit v verwenden. Dar-

aus ergeben sich dann beliebige stetige Verformungen oder Bewegungen der Kontur (im

Gegensatz zur Skizze).

das senkrecht zur Scheibe steht. Wegen der Drehung der Scheibe kommt es an die-

ser Stelle zu Induktionsströmen (Wirbelströmen). Die endliche Leitfähigkeit des

Metalls bedingt, dass dabei Energie in Wärme umgewandelt wird (31.24). Diese

Energie geht der Rotationsenergie der Scheibe verloren.

Maxwellscher Verschiebungsstrom

Die Faradayschen Experimente führten zur Ergänzung der Gleichungen (16.1)

durch den Induktionsterm in (16.5). Der zweite entscheidende Schritt zur Vervoll-

ständigung der Gleichungen (16.1) erfolgte nun durch Maxwell im Jahr 1864. Da-

zu ging Maxwell von der Kontinuitätsgleichung (16.6) aus, die gemäß (13.10) –

(13.12) aus der Ladungserhaltung folgt. Die Kombination der Kontinuitätsglei-

chung mit divE(r, t) = 4π�(r, t) ergibt

� + div j = div( 1

4π

∂E

∂ t+ j

)= 0 (16.13)

Dieses Ergebnis ist nicht kompatibel mit rotB(r, t) = 4π j (r, t)/c , denn hieraus

folgt div j(r, t) = 0. Die Gleichungen werden aber konsistent, wenn man in der

inhomogenen magnetischen Feldgleichung den Maxwellschen VerschiebungsstromE/4π zu j hinzufügt:

rotB(r, t)− 1

c

∂E(r, t)

∂ t= 4π

cj (r, t) (16.14)

Der Zusatzterm wurde aus der Forderung der Konsistenz mit der Kontinuitätsglei-

chung abgeleitet. Der Verschiebungsstrom kann aber auch experimentell begründet

werden. Dazu betrachten wir die integrale Form von (16.14) in einem stromfreien

Bereich: ∮C

dr · B = 1

c

∂

∂ t

∫a

da ·E ( j = 0) (16.15)


!!!!!!!

!!!!!!!

. . ... ......................

.

.

....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....

.

.

.................... ... . .

!!!!!!!

!!!!!!!

. . ... ......................

.

.

....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....

.

.

.................... ... . .

��+Q

−Q...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

�

�

E��B

Abbildung 16.3 Beim Kurzschließen des Kondensators zerfällt das elektrische Feld. Die-

se Zeitabhängigkeit E �= 0 bewirkt ein magnetisches Feld mit geschlossenen, kreisförmi-

gen Feldlinien. Dieses Feld hat dieselbe Geometrie wie ein durch die Stromdichte j ‖ E

erzeugtes. Daher ist auf der rechten Seite von rotB = (4π/c) j der Maxwellsche Verschie-

bungsstrom E/c hinzuzufügen.

Ähnlich wie die Änderung des magnetischen Flusses ein elektrisches Feld bedingt,

ruft die Änderung des elektrischen Flusses Φe =∮da · E ein magnetisches Feld

hervor. So führt das Kurzschließen eines aufgeladenen Plattenkondensators zu ge-

schlossenen magnetischen Feldlinien (Abbildung 16.3). Dieses Magnetfeld könnte

zum Beispiel mit einer Kompassnadel beobachtet werden.

Vereinheitlichte Theorie

Die Maxwellsche Theorie ist ein Standardbeispiel für eine vereinheitlichte Theorie.Darunter versteht man, dass zunächst getrennt behandelte Phänomene im Rahmen

einer einzigen Theorie verstanden und beschrieben werden können.

Ein erstes Beispiel für eine vereinheitlichte Theorie ist Newtons Gravitations-

theorie3. Aus dieser Theorie lassen sich sowohl die Fallgesetze wie die Keplergeset-

ze ableiten; vor Newton gab es keine Verbindung zwischen diesen Gesetzen. Es war

Newtons herausragende Leistung, den Fall eines Apfels und die Bahn der Venus als

Folge der gleichen Kraft und des gleichen Bewegungsgesetzes zu verstehen.

Die Maxwellschen Gleichungen stellen eine vereinheitlichte Theorie dar, weil

sie die elektrischen und die magnetischen Phänomene auf einer gemeinsamen

Grundlage erklären. Historisch wurde zunächst kein Zusammenhang zwischen die-

sen Phänomenen gesehen.

In den sechziger Jahren entwickelten Weinberg, Salam und Glashow eine ver-

einheitlichte Theorie für die elektromagnetische und die schwache Wechselwir-

kung. Diese Theorie sagte die Existenz von Vektorbosonen (Z0 und W±) voraus,die in den achtziger Jahren nachgewiesen wurden.

Es ist ein Ziel der Physik, alle Wechselwirkungen, insbesondere auch die starke

Wechselwirkung und die Gravitationswechselwirkung, im Rahmen einer vereinheit-

lichten Theorie zu verstehen. Die Maxwellsche Theorie und ihre Nachfolger (Quan-

tenelektrodynamik, Weinberg-Salam-Theorie) haben hierfür Vorbildcharakter.

3I. Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica, 1687


Energiebilanz

Wir bestimmen die Energiedichte des elektromagnetischen Felds. Dazu stellen wir

die Energiebilanz für ein System aus Feldern und N Ladungen qi (mit den Orten

r i und den Geschwindigkeiten vi) auf. Das elektromagnetische Feld übt die Kraft

(16.7) auf die einzelnen Teilchen aus. Dadurch wird die Energie Emat der Teilchen

geändert:

dEmat =N∑i=1

F L,i · dr i =N∑i=1

qi

(E + vi

c× B

)· vi dt =

N∑i=1

qi vi ·E(r i, t) dt

(16.16)

Konkret stelle man sich hierbei etwa Elektronen im Feld eines Kondensators oder

in einem Teilchenbeschleuniger vor. In (16.16) verwenden wir die Stromdichte j =∑qi vi δ(r − r i):

dEmat

dt=∫d3r j (r, t) ·E(r, t) (16.17)

Mit Hilfe der Maxwellgleichungen drücken wir j ·E durch die Felder aus:

j ·E = c

4πE · rotB − 1

4πE · ∂E

∂ t

= − c

4πdiv

(E × B

)+ c

4πB · rotE − 1

8π

∂E 2

∂ t

= − c

4πdiv

(E × B

)− 1

8π

∂

∂t

(E2 + B2

)(16.18)

Bei dieser Umformung haben wir∇ ·(E×B) = B ·(∇×E)−E ·(∇×B) benutzt.

Mit den Abkürzungen

wem = wem(r, t) =1

8π

(E2 + B2

)Energiedichte (16.19)

und

S = S(r, t) = c

4π

(E × B

) PoyntingvektorEnergiestromdichte

(16.20)

schreiben wir (16.18) in der Form

∂wem

∂ t+ divS = −j ·E (Poynting-Theorem) (16.21)

Die folgende Diskussion wird ergeben, dass wem als Energiedichte des elektro-

magnetischen Felds zu interpretieren ist, und S/c2 als Impulsdichte.

Wir integrieren (16.21) über ein zeitunabhängiges Volumen, wobei wir den

Gaußschen Satz verwenden:

∂

∂ t

∫V

d3r wem(r, t)+∮a(V )

da · S(r, t) = − dEmat

dt(16.22)


Auf der rechten Seite wurde (16.17) verwendet. Mit Eem = ∫Vd3r wem wird

(16.22) zudEem

dt+ dEmat

dt= −

∮a(V )

da · S(r, t) (16.23)

In (16.16) wurde über eine feste Anzahl von materiellen Teilchen summiert. Da-

mit wird in Emat =∫Vd3r . . . vorausgesetzt, dass alle N Teilchen im betrachte-

ten Volumen sind und bleiben. Andernfalls würde es in (16.23) einen zusätzlichen

Oberflächenterm mit der materiellen Energiestromdichte geben.

Wir betrachten nun ein abgeschlossenes Systems und wählen das Volumen V

so, dass das System innerhalb von V liegt. Dann verschwindet das Integral über die

Oberfläche a(V ) des Volumens, und (16.23) wird zu

E = Emat + Eem = const. (abgeschlossenes System) (16.24)

Als Volumen V kommt insbesondere auch der gesamte Raum in Frage. Für das

Verschwinden des Oberflächenintegrals genügt es dann, dass die Felder im Unend-

lichen mindestens wie 1/r2 abfallen.

Die Größe (16.24) hat die Dimension einer Energie. Die Energiegröße, die für

ein abgeschlossenes System konstant ist, ist die Gesamtenergie des Systems. Das

System besteht aus Feldern und Teilchen; ferner ist bekannt, dass Emat die Energie

der Teilchen ist. Hieraus folgt, dass Eem die Energie und wem die Energiedichte des

elektromagnetischen Felds ist. Die Energiedichte wem = (E2 + B2)/8π ist eine

Verallgemeinerung der aus der Elektrostatik bekannten Energiedichte u = E2/8π.

Wir betrachten (16.23) jetzt für ein endliches Volumen V . Die Energie Eem der

elektromagnetischen Felder kann sich dadurch ändern, dass (i) Energie auf die ma-

teriellen Teilchen übertragen wird, oder dass (ii) elektromagnetische Energie die

Oberfläche a(V ) des Volumens V passiert. Damit ist der Poyntingvektor S die

Energiestromdichte des elektromagnetischen Felds. Er hat die Dimension

[S] = Energie

Fläche · Zeit =Leistung

Fläche(16.25)

Hieraus folgt [S/c2] = Impuls/Volumen, das heißt S/c2 ist eine Impulsdichte. Dieslegt nahe, dass S/c2 die Impulsdichte des elektromagnetischen Felds ist; formalwird dies im nächsten Abschnitt begründet.

Impulsbilanz

Die Ableitung der Impulsbilanz erfolgt analog zur Energiebilanz; sie wird nur sehr

knapp dargestellt4. Die zeitliche Änderung des Impulses Pmat eines Systems von

Teilchen folgt aus der Newtonschen Bewegungsgleichung:

dPmat

dt=

N∑i=1

dpi

dt=

N∑i=1

F L,i =N∑i=1

qi

(E(r i , t)+

vi

c× B(r i , t)

)(16.26)

4Dieser Abschnitt kann übersprungen werden.


Hierin führen wir die Ladungsdichte � =∑qi δ(r − r i) und die Stromdichte j =∑

qi vi δ(r − r i) ein:

dPmat

dt=∫d3r

(�(r, t) E(r, t)+ j(r, t)

c× B(r, t)

)(16.27)

Wir formen den Integranden wieder mit Hilfe der Maxwellgleichungen um. Dies

ergibt nach einigen Zwischenrechnungen5

�E + j × B

c= − ∂gem

∂t+

3∑i,k=1

∂Tik

∂xkei (16.28)

Hierbei wurden die Größen

gem =1

4πcE × B = S

c2Impulsdichte (16.29)

und

Tik =1

4π

(EiEk + Bi Bk −

δik

2

(E2 +B2

))(16.30)

eingeführt. Im Folgenden wird gem als Impulsdichte des elektromagnetischen Felds

identifiziert. Die Gesamtheit der Größen Tik wird alsMaxwellsche Spannungstensorbezeichnet.

Wir integrieren (16.28) über ein Volumen V , das das System vollständig um-

fasst. Der Term mit ∂Tik/∂xk wird mit dem Gaußschen Satz in ein Oberflächen-

integral verwandelt; für das abgeschlossene System verschwinden die Felder und

damit die Tik an der Oberfläche des Volumens. Zusammen mit (16.27) erhalten wir

dann

dPmat

dt+ ∂

∂ t

∫V

d3r gem(r, t) =d

dt

(Pmat + P em

)= 0 (16.31)

oder Pmat+P em = const. Dies ist der Impulserhaltungssatz für das abgeschlosseneSystem. Hieraus folgt die Interpretation von gem als Impulsdichte des Felds. Die

Impulsdichte impliziert die Drehimpulsdichte

l em = l em(r, t) = r × gem =1

4πcr × (E × B

)(16.32)

5Diese Rechnungen werden etwa in Kapitel 6.8 von [6] ausgeführt.


Aufgaben

16.1 Induktion in bewegter rechteckiger Leiterschleife

Eine rechteckige Leiterschleife (Seitenlängen b1 und b2) liegt in der x-y-Ebene und

bewegt sich mit konstanter, nichtrelativistischer Geschwindigkeit v = v ex .

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................

...................................................

..................................................

..................................................

.................................................

..................................................

..................................................

.................................................

.................................................

...................................................

.................................................

..................................................

.....................................

..................................................

...................................................

.................................................

.................................................

...................................................

.................................................

.................................................

...................................................

.................................................

..................................................

.................................................

..................................................

..................................................

....................................

�v

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

�x

�y

d

b1

b2

Im Bereich 0 ≤ x ≤ d < b1 wirkt ein

konstantes homogenes Magnetfeld B =B0 ez, das in der Skizze durch Punkte

markiert ist.

Berechnen Sie die in der Leiterschleife

induzierte Ringspannung U(t). Skizzie-

ren Sie die Funktion U(t).

16.2 Induktion in bewegter kreisförmigen Leiterschleife

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................

�v

��

��

R

α

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

�x

�yEine kreisförmige Leiterschleife bewegt

sich innerhalb der x-y-Ebene mit kon-

stanter, nichtrelativistischer Geschwin-

digkeit v = v ex . Im Bereich x > 0

wirkt ein homogenes Magnetfeld B0 ez,

das durch Punkte markiert ist.

Berechnen Sie die in der Leiterschleife

induzierte Ringspannung U(t). Skizzie-

ren Sie die Funktion U(t).

16.3 Induktion im rotierenden Kreisring

Ein leitender Kreisring (z = 0 und x2 + y2 = r 20 ) rotiert mit konstanter Winkel-

geschwindigkeit ω um die x-Achse. Es wirkt das homogene Magnetfeld B = B ez.

Welche Spannung U(t) wird in dem Ring induziert? Im Ring sei ein Lämpchen

(Widerstand R) angebracht. In dem Lämpchen wird dann die elektrische Leistung

P = U 2/R verbraucht. Welches Drehmoment M muss im zeitlichen Mittel auf

den Ring ausgeübt werden, damit die Winkelgeschwindigkeit konstant bleibt (die

mechanische Reibung soll vernachlässigt werden)?

16.4 Magnetfeld im sich entladenden Plattenkondensator

Ein Plattenkondensator aus zwei parallelen Kreisscheiben (Radius r0, Abstand d,

d � r0, Randeffekte werden vernachlässigt) wird langsam über einen Widerstand

R entladen. Die Anfangsladungen auf den Platten sindQ0 und −Q0.

Bestimmen Sie die Ladungen ±Q(t) auf den Platten und das magnetische FeldB(t).


16.5 Felddrehimpuls der rotierenden geladenen Kugel

Eine homogen geladene Kugel (Ladung q, Radius R) rotiert mit der konstanten

Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse durch den Mittelpunkt. Berechnen Sie

den Drehimpuls Lem =∫d3r lem des elektromagnetischen Felds.

Documents

Elektrodynamik || Maxwellgleichungen