Rationale Approximationen der Potenzfunktion Von Waldemar Sch6be (Stuttgart)

I.

1. Im folgenden soll yon der allgemeinen Potenz xy immer in dem Sinne die Rede sein, dat~ die Basis positiv und der Exponent reell ist.

Auslog l + u l - ~ u = 2 ( u + ~ l u s + ~ l u S + . . . ) = 2 u + O ( u S ) , - - 1 < u < 1

wobei sich das Zeichen O auf den Grenziibergang u ~ 0 bezieht, folgt bei festem y

(1 + u~y = log kl-Z~u! = 2 u y + O(u s) und zugleich log" 11 _+ uU YY 2 u y + O(u3),

hieraus 1 + 1 + u y ( l a ) ~ J ~ 1 - - u y

/lquivalente Formeln sind xy ~ (x + 1) + y(x - - 1) (1 b)

(x + 1) - - y(x l I ) '

2 + (y + 1)i (1 c) (1 + i)x ~ 2 - - (y - - 1)i"

Diese Formeln haben nut Sinn, wenn - - 1 < u < l oder x > 0 odet i > - 1 ist, auflerdem miissen Ziihler und Nenner des Ausdrucks auf der rechten Seite positiv sein. Die rechte Seite yon (1 b) geht in den reziproken Wert iiber, sowohl wenn man y durch - - y als auch wenn man x durch 1/x ersetzt. Formel (1 b) ist bei x -- 1 fiir jedes y und bei y = 0 oder y = + 1 fiir jedes x ridatig; im iibrigen gibt sie in Anbetracht ihrer einfachen Gestalt oft unerwartet gute Anniiherungen.

Beispiele: Ist i(m) der 1/m-jiihrliche nachschiissige Zinsfu£, i der Effek- tivzins, so ist i = (1 + i(m)) m i 1. Der Niiherungsausdruck lautet

i ~ m i(m) , z.B. fiir m ---- 4, i(m) = 0,02 : i -- 0,08 _ 0,08247 1 - - ~ i(m) 0,97

start 0,08243.

469

Weiterhin ergibt sida fiir den Barwert der 1/m-j~ihrlich vorschiissig zahl- baren einj~ihrigen Zeitrente mit der Rate 1

m ' / / ~ ) ~ 1 -- v (2 + i)m + i 1 - - v l/m~ 2 + 2 i '

z.B. f/ir m = 12, i = 0,035 der N~iherungswert 11,8140 statt des ge- nauea Wertes 11,8129.

Die spezielle Formel ]/~- + 1 2 n + 1 ist insofern historisch interes-

sant, als die Spezialf~ille n - 26 und n -- 97 dazu dienen k~Snnen, aus zwei sich leicht bietenden rohen N~iherungswerten ftir 1/3-zwanglos zwei vorziig- liche und vieldiskutierte, yon Archimedes benutzte N~iherungswerte ab- zuleiten.

Trotz niitzlicher Anwendungsm/Sglichkeiten find die Formeln (1 a), (lb), (1 c) wenig bekannt. Sie find der einfachste Fall, das erste Glied einer Folge iihnlich gebauter, yon einer natiirlichen Zahl k abh~ingiger rationaler N~iherungsausdriicke, die fiir k ~ oo gegen den wahren Weft xx konver- gieren und formal aufs engste mit den N~iherungsbriichen einer Ketten- bruchentwicklung fiir (xs - - 1)/(xy + 1) zusammenh~ingen I).

Da die rekursive Erzeugungsweise der N~iherungsbrtiche eines Ketter, bruchs der Praxis ferntiegt und iiberdies der in Rede stehende Kettenbruch in der allgemeinen Theorie der hypergeometrischen Funktionen, fiir die er einen bemerkenswerten Spezialfall bildet, heute kaum beachtet zu werden pflegt, werden hier die betreffenden N~iherungsausdr~icke im Reellen und u n a b - h ~ i n g i g y o n d e r K e t t e n b r u c h t h e o r i e direkt behandelt, und zwar auch die Ausartungen, die zu N~iherungen fiir Logarithmus und Ex- ponentialfunktion fiihren. Ein wesentlicher Teil der Untersuchung erstreckt sich auf die Gr~Si~e des Fehlers, und zwar beginnen wir mit einer numeri- schen Betrachtung des Fehlers yon (1).

2. Die rechte Seite von (1) werde fiir den Augenblick mit N bezeichnet. Bezieht man in die obige Herleitung von (1) die kubischen Glieder der ver- wendeten logarithmischen Reihen mit ein, so ergibt rich bei festem y sofort, daf~ fiir u --~ O, d. h. x --~ 1, der Fehler yon (1) wie die dritte Potenz von u oder x - - 1 = i gegen 0 strebt. Durch die Ergebnisse des Abschnitts 5. wird es jedoch nahegelegt, den relativen Fehler des N~iherungswertes mit der dritten Potenz von ( I / x - - 1)/(Vx + 1) zu vergleichen. Die Formel

N k V x + 1} (2)

1) Eine Anwendung der Formel (lb) in der Bausparkassenmathematik finder sich in einer Arbeit yon U. yon Beckeratb, [I] des Literaturverzeichnisses; die Formel wird dort in Verbindung mit der Kettenbruchentwicklung der Potenzfunktion genannt. Wegen dieser Entwicklung im Rahmen der Kettenbruchtheorie vgl. O. Perron [4], insbesondere Seite 347.

470

gibt, besonders fiir xy > 1, ein gutes Bild v o n d e r relativen Genauigkeit der N~iherung (1); dabei bestimmt sich der von x unabh~ingige Koeffizient auf der rechten Seite von (2) mittels der angedeuteten Herleitung aus den Anfangsgliedern der betreffenden Potenzreihen in der N~ihe von x = 1 oder als Spezialfall k = 1 aus der sp~iteren Relation (9). Wie die folgende, absichtlich extreme Beispiele bevorzugende Tabelle zeigt, weicht der Quo- tient der linken und der rechten Seite von (2) auch dann noch verh~iltnis- m~igig wenig von 1 ab, wenn xy schon so grog ist, dag bei Formel (1) yon einer Approximation keine Rede mehr sein kann.

N l / x - - 1 Quotient beider y x xY Formel (lb) N - - xY

Vx q- 1 Seiten yon (2)

l/s 1,2 1,0626586 1,0625 - - 0,0001586 0,045549 0,9995 1,5 1,144714 1,142857 - - 0,001857 0,10102 0,997 2 1,259921 1,25 - - 0,009921 0,17157 0,994 4 1,587401 1,5 - - 0,087401 0,33333 0,996 8 2 1,7 - - 0,3 0,47759 1,025

16 2 ,519842 1,833333 - - 0,686509 0,6 1,097

3 1,1 1,331 1,333333 0 ,002333 0,023823 1,011 1,3 2,197 2,285714 0 ,088714 0,065497 1,079 1,6 4,096 5,5 1,404 0,11696 1,246 1,9 6,859 28 21,141 0,15910 1,465

10 1,05 1,628895 1 ,645161 0 ,016266 0,0'12197 1,032 1,1 2 ,59374 2,81818 0,22444 0,023823 1,116 1,2 6,19174 21 14,80826 0,045549 1,413

3. Als naheliegende Verallgemeinerung von (lb) bestimmen wir zu einer beliebigen natiirlichen Zahl k eine gebrochen-rationale Funktion von x und y in der Gestalt Hk(x, y) : H k ( x , - - y ) , in der I--Ik ein Polynom kten Gra- des sowohl in x als auch in y darstellt, derart, dag die Funktion fiir y ---= 0, + 1 . . . . . + k mit xy identisch iibereinstimmt. Dag es eine solche rationale Funktion gibt, ist keineswegs selbstverst~indlich.

Durch die Gestalt der Funktion ist gesichert, dag sie bei Vorzeichenwechsel von y in den reziproken Wert iibergeht; man hat daher nur j = 0, 1 . . . . . k

k als Werte yon y zu betrachten. Ist Hk(x, y ) = ~, Pro(Y)x m, wobei die

m ~ O

Abh~ingigkeit des Pmvon k der Einfachheit halber nicht ausgedriickt ist, so soll sein

~. Pm(j) x m = j) X xJ fiir 0 N j N k . m = O

471

Das ist gleichbedeutend mit den drei Relationen

Pro(j) ---- 0 fiir 0 ~ m ~ j ~ k

Pro(-- j) -- 0 fiir m q- j ~ k

Pm(j) -- Pm-j(-- j) fiir 0 ~ j ~ m ~ k.

Wegen der beiden ersten hat Pro(y) mindestens die ganzzahligen Nullstellen m q- 1 , . . . , k und m k, 1 - - k, . . . . m - - 1 - - k . Das sind k Nullstellen, und durch sie ist Pro(y) als Polynom h&hstens kten Grades bereits bis auf einen konstanten Faktor bestimmt in der Form

(k- - m)" Die dritte der Relationen besagt dann

cm(km + j ) k - - j " m j j) (k __ m) = Cm-j (km _ ~ ) (k k q"

oder einfadt Cm = Cm--j fiir 0 ___ j ~ m ~ k , so dat~ alle Cm gleich 1 gesetzt werden kSnnen. Man gelangt so zu der Formel

Hk(x, Y) = y, . _ - _ . . XY m~t Hk(x,-- y)

,, m~0

die allerdings vorl~iufig nicht mehr besagt, als da£ Gleichheit besteht far alle ganzzahligen y mit l Y I ~ k und daft ganz allgemein beide Seiten yon (3) bei Vorzeidaenwechsel yon y in ihren reziproken Wert iibergehen. Man sieht aber auch sofort, daf~ die rechte Seite - - ebenso wie die linke unver~indert bleibt, wenn gleichzeitig x durch 1/x und y durch - - y ersetzt wird; zum Nachweis hat man nur in der Definition yon Hk gleichzeitig auch m mit k - - m zu vertauschen. Als Korollar folgt, dat~ beide Seiten yon (3) reziproke Werte annehmen, wenn bei gleichem y fiJr x reziproke Werte eingesetzt werden.

Wird x = 1 q- t in Hk(x, y) substituiert, so lautet der Koeffizient yon t n k k

E ( k ~ y ) k - - y q- ( kq -y - -n~ k - - y y) E m--n , = ( k + y) (2kL--nn) 11 :*

letzteres nach dem Additionstheorem der Binomialkoeffizienten.

Daher ist k

H k ( x ' Y ) = E ( 2 k k n ) ( k q-Y) ( x - 1 ) n ' n (4) n~0

sondo,o

472

Diese Darstellung ~) ist darum handlich, weil der Koeffizient yon ( x - 1) n ein Polynom nur nten Grades in y ist; Hk(x, y) kann daher auch als Poly- nora Hk(X, (x - - 1) y) geschrieben werden.

Man findet

H0(x, y) = 1

Hl(x,y) = 2 + (y + 1) (x - - 1) = x + 1 + y ( x - - 1) I

H~(x,y) = 6 + 3(y + 2 ) (x - - 1) +~-(y + 1) (y + 2)(x - - 1) ~ usw.

Die Polynome hk(x, y ) = k! Hk(x,y) haben offenbar ganzzahlige Koeffi- zienten.

4. Ziel dieses Abschnitts ist der Nachweis der Relation

I '" Hk(x,Y) I xY = l i r a TTT--, --'--Sx k-> co rlk( x, - - Y) " (5)

Dazu werden Z~ihler und Nenner fiir sich betrachtet3), well das sp~iter fiir die Untersudaung des Fehlers wesentlich ist. Der Grundgedanke ist einfach: fiir y = 0 erweist sich Hk als eine gliedweise quadrierte Binomialreihe, so daf~ das Verhalten der fiir k -~ oo ausschlaggebenden Glieder yon der Ber- noulliverteilung her bekannt ist, und der Ubergang zu beliebigen y bedeu- te t im wesentlichen eine gliedweise Multiplikation mit x-+Y/2 .

Es sei yon vornherein k so grofl, daft die auftretenden, yon k abh~ingigen Intervalle nicht leer sind. Fiir Pm(y) x m schreiben wir wra, so daft

k Hk(x, y) = ~, Wm ist. Es gilt

m ~ O

win/win-l= ( k - - m + l ) ( k - - m + l + Y ) x ; m(m -- y)

in dem vorerst allein behandelten Bereich I Y I ~ m ~ k - - [ y I, der ledig- lich eine feste Anzahl yon Randgliedern ausschlieflt, haben demnach alle Wm dasselbe, und zwar das positive Vorzeichen. Uberdies ist win/win-1 eine fallende Funktion yon m, d. h. log Wm eine konkave Funktion yon m. Dies ist fiir Absch/itzungen niitzlich. Ist n~imlich # ~ v und gleichzeitig w~,~w~, so nimmt wegen der Konkavit~itseigensdaaft die Folge w~, w,,-1, w,-~ . . . . st~irker ab als eine geometrische Folge yore Quotienten (w/,/w~)l/(~-~); ist aber / ~ v und w~,~w~, so nimmt die Folge

*) Eine ~iquivalente Formel in weitaus komplizierterer Gestalt gibt Laguerre [3]; man findet nach einiger Rechnung, daft der gem~it] der dortigen Bezeichnungsweise zu verstehende Ausdruck (x--1)kfk/1 + x k! ~ , y] gliedweise mit der rechten Seite von (4) iibereinstimmt.

s) Prinzipiell ebenso verl~uft der Beweis bei ThomJ [5]; dort werden entsprechend der grSfleren Allgemeinhelt schwierigere Hilfsmittel verwendet.

473

w~, w~+l, w~+~,.. , st~irker ab als eine geometrische Folge vom Quotien- ten (w~/w~)U('-s'). Wenn wm0/Wm o- 1 => 1 >Wm 0 + 1/wm 0 , so ist wmo das Maximum aller Wm. Man sieht sofort, daft fiir k -+ eo auch m o und k - - m 0 gegen oo streben

mtissen und daher (k--mo/8 x -~ 1 oder k - - m 0 , 1 mo / mo ~ strebt. Also kon- vergiert

mo l/x k - - mo 1 - - ~ - _ = p , - > - - = q = l - - p . k V x + l k ] / x + l

Es wird sich zeigen, dal~ nach Wahl eines beliebigen ~1 mit 1/2 < ~ < 2/3 der .Mittelbereich = k p - - k~ < m < k p + k~ alle fiir die GriSflenordnung der Summe ausschlaggebenden Glieder enthiilt. Wir beschr;inken uns daher zuniichst auf diesen. Hier gilt fiir die Glieder der Bernoulliverteilung be- kanntlich

(m 1 ( . ) pmqk-m,~_. 1/2~kpqeXp - -2-~pq ' t = m - - k p ,

mit einem relativen Fehler O ( 1 / k ) + O ( t / k ) + O ( t V k ~) oder einfa& O(k8~-2).

Durch Quadrieren folgt, wenn - - nicht durchweg - - die Bedeutung yon p und q eingesetzt wird,

(m k) (k k m ) m ~ (l/~ + 1)~k+~ (-- k-~-q) ; x ~ 2Jk-~xx exp

links steht hier wm ° , d.h. Wm fiir den Spezialfall y -- O.

Der Ubergang zu beliebigen y ist leicht. Es ist n~imlich filr (ganzzahlige)

oo mit einem additiven Fehlerglied O(1/s 2) oder 0(s1--1 1) $- -~

log (1 + -Ys)~ y ~ Y log (1 + 1 ) u n d hieraus durdl Summation fiber

k - - m + l _ < s _ < k ' l°g[(k+Y):(mk)]m =yl°gk--k++l

oder ~ + Y): (k)= (~k m)Y(l + O(k)). Fiir jedes m des Mittelbereiches ist also mit der relativen Genauigkeit

(1; O(k,/-1) ( k + y ) : ( k ) ~ m q undebenso

k - - y 1 - y ( k _ m ) : ( k k m ) ~ (p) =PY,

474

also deren Produkt Wm/Wm 0 ~ (p/q)Y = xy/~. Aus allem folgt

Wm (Vx + 1)2k+2xY/2 ( ta ) - 2 :~ k Vx exp - - k p q + O(k8~-2) "

Am Rande des Mittelbereichs ist t ~ k . , also der Exponentialfaktor -~. k~n -1

exp (--kZ~-~/ yon kleinerer Gr~i~enordnung als jede Potenz yon k -1 , p q / . . . .

und au~erhalb des Mittelbereichs mmmt die Folge starker ab als eine geo- metrisdae Folge vom Quotienten

exp(- k2~-1 :k~)-- exp ( - -k~- I / . pq \ pq /

Dieser ganze Reihenrest ist also h~chstens urn einen Faktor O(kl-~) grS~er als ein Randglied. Es bleibt noch iibrig, die Wm mit m __< l Y [ und k - - m ~< l Y[ in Betracht zu ziehen, die nicht notwendig positiv sind. Deren GrS8enordnung ist sofort nach oben abgesch~itzt dutch

k ~ [yl Max(l, x k) = (V x + 1) ~k k 2 lsl Max(q2k, p~k)

< ( V x + 1) 2k [(1 - - p q)~.k k~lyl] ,) ;

hierin strebt der zweite Faktor sdaneller gegen 0 als jede Potenz yon k -1 . Im ganzen ergibt rich

Hk(x, y) = (V~ 2 u k + 1)2k+~vx xy/2 (~, e-t'/kpq) (1 + O(k3~-~)) ,

worin die Summe fiber diejenigen t zwischen - - k~ und + k~ zu erstrecken ist, fiir die m = k p + t ganzzahlig ist. Damit ist die Grenzbeziehung (5) bewiesen, da Z ' yon y nicht abh~ingt. Einfach und bekannt ist der Nachweis der Relation

E ' e-t'/kpq = V~ k p q + 0(1) = Vu k p q (1 + 0(k-112)).

Eine Vergleichung yon Integral und Rechtecksmenge liefert niimlich mit dem Fehler O(1)

k*/ / tti \ U du k2,/-1 tk- ] e - u ~ y ' ~ f exp - dt = l/k p q f mit U = - - ;

--k'/ 0 Vu p q

das u-Integral zwis&en 0 und oc ist gleich V~-und zwischen U und co offenbar kleiner als

o o

(1/VZI) e - u du = U -1/~ e -U = O(1/k).

Wird schlief~lich noch 1/p-q= xll4/(Vx+ 1) eingesetzt, so ergibt rich end- giiltig

4) H i e r ist beniitzt 1 - - p q = p + qZ = q + pZ > M a x (p, q).

475

Hk(x, y) = (1/x + 1)~k+l x y/~-U4 ( 1 + O(k-1/~+0) fiir jedes ~ > 0 (6) 2 1/~k

da 3 ~ /~ 2 jeden Wert zwischen ~ 1/2 und 0 annehmen kann.

1 Ohne das Fehlerglied zu veriindern, l~iflt sich noah ~ durch

1.3 . . . . (2k -- 1) 2.4 . . . . 2k

ersetzen, wodurch man erreicht, dag die Formel fiir x ---- 1 ohne Fehlerglied

ridatig ist; es ist ja Hk(1, y ) = (2kk) •

Fiir spiiter ben&igen wir noah

(k + 1) Hk(x, y) Hk+l(x, y) (7) 1 3 2 k + 1)( 1 +

worin ein Partialprodukt des Wallisschen Produktes fiir 2[~z auftritt; aud~ (7) ist fiir x = 1 genau richtig.

5. Die Polynome hk(x, y) = k! Hk(x, y) geniigen der Rekursionsformel

h~+l(X, y) - - (2 k + 1) (x + 1) hk(x, y) + (k 8 - - yS) (x - - 1) 8 hk-l(x, y) = 0

fiir k > 1. (8)

FiJr x = 1 besagt das (2 k + 2)t 2 (2 k + 1) ~ und ist offenbar erfiillt. (k + 1)~ =

Im iibrigen wenden wir die Darstellung (4) an und ermitteln fiir die linke Seite yon (8) den Koeffizienten yon (x - - 1)J +1 (j => 0). Er lautet nach Ab-

(k + y) , io folgt spaltung des Faktors (j + 1) (k--j)! j

(2 k+ 1 -j)(2 k- j ) (k+ 1 +y) - (2 k+ 1)(2 k- j ) (j + 1)-2(2 k + 1)(k-j)(k-j +y)

+J0 + ~)(k-y)

und verschwindet identisch, weil das Polynom in j quadratisch ist und, wie leicht zu erkennen, fiir j = 0, - - 1 , 2 k gleida 0 wird.

Darnach geniigen Hk(x, y) und H k ( x , - y) der Rekursionsformel

(k + 1) Qk+t - - (2 k + 1) (x + 1) Qk + k (x - - 1) 8 (1 - - yS/kS) Qk-1 = 0. (89

Dutch Linearkombination mit den Faktoren H k ( x , - y) und --Hk(x, y) folgt daraus

(k + 1) [Hk+l(X, y) Hk(x, - - y) - - Hk(x, y) Hk+l(x, - - y)]

---- (x - - 1) ~ (1 - - yS/kS)" k [Hk(x, y) Hk-l(x, - - y) - - Hk--l(x, y) Hk(x, - - y)]

fiir k _>_ 1, eine Formel rekursiven Charakters. Fiir k = 1 ist der Ausdruak

476

in der eckigen Klammer auf der rechten Seite gleich

Hi(x, y) - - Hi(x, - - y) ---- 2 y(x - - 1),

also ist allgemein fiir k ~ 0

(k q- 1) [Hk+l(x, y) Hk(x, - - y) - - Hk(x, y) H k + l ( x , - y)]

= 2(x - - 1) ~k+l" y(1 - - y2 /1~ . . . (1 - - y~/k")

oder dk ~_.~ Hk+l(X, y) Hk(x, y)

Hk + l(x, - - y) Hk(x, -- y) __ 2(x - - 1)2k+1 [ ~ [ ~ y 2 y2

worin fiir k = 0 die Faktoren hinter y fehlen.

Beriicksichtigt man nun Formel (7) und schreibt

( x - 1)/(fx + 1)8 = ( V x - 1)/(i/x +1 ),

so ergibt si& mit der relativen Genauigkeit O(k-U"+ 0

~. 4 ]/x (Vx-- l~2k+l Ak ( ~ T 1) z k ~ - + l - ] xY" rk (8")

mit

= 4 ( 2 2. 2k 1 ) . [ y ( l Y ' Fk , T ~ 2 k + _ ~/-/""" ,1 - - ,,-11

• 24kk, k, . (--1)k(2k q- 1)' (Yk~kl) = 4 ( 2 k + 1)!(~k) k ! k !

( ~ 1) k 24k+2

iv) In Formel (8") strebt der Quotient beider Seiten nicht nut fiir k ~ oo bei festem x, sondern auch fiir x -+ 1 bei festem k gegen 1. Fiir k -+ oo konver- giert Fk gegen F = 4. ~r/2. sin ~r y/~r = 2 sin ~ y , und zwar ist Fk ---- F • (1 + O(1/k)) und sogar Fk+j ---- F . (1-k O(1/k)) gleichm~i£ig fiir alle j ~ 0, also

Ak+j ~--" ( ~ T i)2 k]/x .it. 1/ x Y ' F ,

worin nachtr~iglich wieder F durd~ Fk ersetzt werden darf.

Die FehlerabscEitzung yon (3) gelingt nun in folgender Weise. In aUer Strenge ist wegen (5)

c o

Hk(x, y) E xY Hk(x, - - y) = Ak+j. i=0

477

Bei der Summation iiber die N~iherungsausdrii&e tritt die geometrische Reihe

\ Vx + 1 ] 4 Vx

auf. Man erh/ilt daher als relativen Fehler der N~iherung (3), seinerseits mit der Genauigkeit O(k-U~+ 0 angegeben,

1 X-YHk(x ' - - y) ~ , - ~ - - / x Vx + 1 / (9) 1/sk+ 2 sin y V--f-4-i-] ;

der erste Ausdruck rechts gibt fiJr x - ~ 1 den richtigen Koeffizienten.

Nebenbei zeigt rich, dag die Niiherungsfunktion (3) mit der wahren Funk- tion xY an der Stelle x = 1 eine Beriihrung der Ordnung 2 k aufweist. Hierdurch ist die Niiherungsfunktion, die als rationale Funktion vom ~Grade ~ k in x eingefiihrt wurde, eindeutig charakterisiert, da die Differenz zweier soldaer Funktionen vom ~Grade ~ 2 k ist und daher bei x = 1 h~Sch- stens yon der Ordnung 2 k verschwinden kann, auger wenn sie identisch Null ist.

Zahlenbeispiele bei k = 1 gibt Abs&nitt 2; man mug jedoch, um yon (9) zu (2) zu gelangen, x mit 1/x oder y mit - - y vertauschen. Als weiteres ver- einzeltes Beispiel betrachten wir

x = 9, y = 3/2, also xy = 27, ( I / x - - 1 ) l ( V x + 1) = 112.

Fiir k = 7 wird dann

Hk(x, y) = 302 790840, Hk(x, - - y) = 11 213400 ;

der Quotient ist 27,002590 statt 27. Die linke Seite yon (9) ist - - 0,0000959, die rechte - - 34/13 • 2 -15 = - - 0,0000798 oder - - 2 . 2 -xs = - - 0,0000610. Es ist also nicht nur die Niiherung sehr genau, sondern au& der Fehler durch (9) in seiner Gr/igenordnung richtig angegeben.

II .

6. Wird Hk(x, y) - - Hk(x, - - y) = y L~(x, y) gesetzt, so ist Lk ein Polynom und geniigt der Rekursionsformel (8'). Offenbar strebt

Lk(x, y) : Hk(x, - - y) ~ (xY - - 1)/y fiir k -~ oo.

Wir zeigen, daft auch die Relation 5) Lk(x, 0) : Hk(x, 0 ) - + log x richtig ist,

u) Wegen des Zusammenhanges der hier im Nenner und im Z~ihler stehenden Poly- nome mit Kugelfunktionen siehe z.B. Heine [2], S. 231, und die dort zitierte Literatur.

478

die rich formal ergibt, wenn man links y durch 0 ersetzt, rechts y gegen 0 konvergierea l~i/~t. Denkt man si& Hk(x, y) na& Potenzen yon y geordnet, so stellt Hk(x, 0) das konstante Glied, Lk(x, 0) den doppelten Koeffizienten des linearen Gliedes dar. Wir setzen wie iiblich ho = 0, h~ = 1 + 1/2 + . . . + 1/n fiir n ~ 1 ; dann ist hn = log n + C + O(1/11).

Fiir das Polynom ( k = y) ist das Verhiiltnis des linearen zum konstanten

1 1 1 = hk ~ hk-m, fiir das Koeffizienten gleich ~ + ~ + . . . + k - - m + 1

( k - m) gleich ( h k - h k - m ) - (hk-- hm)=hm - - hk-m. I'rod t +

Die zu beweisende Relation lautet daher

lim Lk(x, 0) = log x (10) k -~ oo Hk(x, 0)

mit k

m = 0

k

m ~ 0

Hier ist beziigli& des Nenners yon Abschnitt 4 bekannt, datg die (3lieder in dem Mittelberei& k p - - k~ < m < k p + k~ den Ausschlag geben und alle anderen und deren Summe demgegeniiber st~irker klein find als jede Potenz yon k -1 . Ferner ist far alle m h m - hk--m = O(log k) und in dem Mittel-

m ~ log p/q ---- 1/2 log x mit der Genauigkeit bereich hm - - hk--m ~ Iog k -- m

O(kn-1). Damit ist (10) bereits bewiesen mit der Genauigkeit O(k3~-2), d. h. O(k-1/2+ 0 fiir jedes ~ ~ 0. Der Beweisgang yon Absd~nitt 5 (Fehlerabsch~itzung) iibertr~igt rich fast wSrtlich, da Z//hler und Nenner des N~iherungsausdru&s auf der linken Seire yon (I0)ein und derselben Rekursionsformel gen~igen, die sich aus (8') fiir y ---- 0 ergibt. Es ist exakt fiir k ~ 0

Lk + l(x, 0) Lk(x, 0) 2(x - - 1)~k+1 3k = Hk+l(X, 0)- Hk(x, 01 (k + 1) Hk(x, 0) Hk+l(X, 0)

und schlief~lid~ mit der relativen Genauigkeit O(k-112+ 0

Lk(x, o) 2 2 2 k logx- -Hk(x , 0) ~ 4 . T ' 3 " " 2k + 1 \l/x + 1] (11)

(Koeffizient fiir x o 1 genau ri&tig) oder auch ~ 2 ~ \ 1/~ + 1/ "

Die einfachsten der N~iherungsformeln (10) fiir log x sind

2(x-- 1) und 3(x 2 - 1 ) x + l x Z + 4 x + l "

479

Die zweite ist praktisch sehr gut brauchbar; fie liefert im Falle x = 2 fiir log2 = 0,693147 den N~iherungswert 9/13 = 0,692308. In (11) ist daher die linke Seite = 0,000839, die rechte aber

256/45 - 0,000846 bzw. 2 :r - 0,000932, + 1)10 + 1)10

also eine gute Absch~itzung des Fehlers.

7. Der Vollst~indigkeit halber betra&ten wir aud~ den leichter direkt zu- #inglichen Grenzfall y--~ oo unter der Voraussetzung, da£ gleichzeitig x ~ 1 strebt und dabei das Produkt (x - - 1)y = z konstant bleibt. Mit der am Ende yon 3. eingef~ihrten Bezeichnung ist

Hk(1 + z/y, y) = Hk(1 + z/y, z).

Wir zeigen, daft die aus Hk(1 + z/y, z) : Hk(1 + z/y, - - z) -+ (1 + z/y)Y (fib k -+ oo) durch Grenziibergang y -+ co formal entstehende Relation

lim ~Hk(l' z) ---- e z (12) ko ~o Hk(1, - - z)

mit k

m~O

richtig ist; hier kommt der Ausdruck fiir Hk aus (4) dadurch zustande, dab

in jedem Binomialkoeffizienten (k + Y/ nur das h~Schste Glied in m a n y, m !

n~imlich ym/m! beibeh~ilt. Eine leichte Umformung zeigt, da/~

(2kkm) /2k~Dk, m m i t D k m = ( 2 k - - 2 ) ( 2 k - - 4 ) . . . ( Z k - - 2 m + 2)

gesetzt werden kann. Es ist 0 < Dk, m __--< 1, Dk, m = 0 f~ir m > k ; f~ir jedes m strebt Dk, m -+ 1 f~ir k -~ oo. Wir zeigen, dag in der Formel

(2k-~ H---k(1, Z) : ~ Dk'm (2)m

der Grenziibergang k ~ oo gliedweise ausgefiihrt o) werden kann. Die so formal entstehende Reihe

9 m~-~O

ist absolut konvergent, so daft zu einem beliebig vorgegebenen e > 0 ein M gefunden werden kann mit

e) Vgl. Heine [2], Sdte 244, dort ohne Beweis.

480

Es wird dann

~ o

re=M+1

1 ~ y 1 - - m k , m m 1 - - D k , m m

m=0 m--! \2]1-- m=0 mt 2 ~ re=M+ 1 mt 2 "

Hierin ist der zweite Summand < e/2, und der erste wird < e/2, wenn k grog genug gew~ihlt wird. Damit ist gezeigt, daft

~,, Dk'm[z--lm = e z/m ist oder Hk(1, Z)= (2kk)cz/2(1-'k" o(1)), lim k-~o+ mt \2]

mmO

womit auch (12) bewiesen ist.

Ftir z = 0 ist die Gleichung ohne Fehlerglied richtig. Trivialerweise ist, wenn k durch k + j ersetzt wird, bei fcstcm z ftir k-+ co das Restglied o(I) ftir alle j > 0 gleichmiigig klein.

Die Folge der k! Hk(1, z) gentigt auf Grund des Zusammenhangs mit Hk(x, y) der aus (8) hervorgehenden Rekursionsformel

Mk+l - - 2(2 k q- 1) Mk - - z s Mk-t = 0,

analog fiJr Hk(1, - - z). Hieraus und aus den Anfangswerten H0(1, z) = 1, H1(1, z) = 2 + z ergibt rich auf dieselbe Art wie in Absdanitt 5 fiir alle k > 0

Hk +1(1, z) Hk(1, z) (-- 1)k'2 Z ~k+l A k - - -

Hk ÷ 1(1, - - z) Hk(|,-- z) k!(k -+- 1)! Sk(|,-- z) Hk+l(1,--z)

+...](, + 0(,))= + 0(1 ) fiir k ~ co ;

__ ( - - 1)k zgk+l - - - - e (1 + o(1))

(2kk) (2k + 1)!

und o o

Ak+j = Ak 1 - - (2 k + 1) (2 k + 3) i=0

an Stelle der friiher aufgetretenen geometrisdaen Reihe erscheint hier eine Reihe, die rich fiir k ~ co auf ihr Anfangsglied reduziert. Schlieglich wird

1 - - e -z Hk(1, z) (-- 1)k z~k+1 fiJr k ~ co (13) z) (V) (2 k +

wobei fiir z -+ 0 der Koeffizient auf der rechten Seite genau richtlg ist. Man kann tibrigens unschwer die Potenzreihenentwicklung

e-zHk(1, z) = H--k(1, - - z) -k ~ (-- 1)m-k ( m - k - l~zm m = S k + l

direkt herleiten.

31 481

Als gahlenbeispiel betrachten wir lediglich den Fall z -- 1, k -- 2 ; dann liefert (12) den N~iherungswert 19/7 fiir e, und (13) besagt, daft

1 ~ 19/7 e ~ 1/720

ausfiillt. Tatsiichlich ist hier die linke Seite -- 0,001470, die rechte 0,001389, also gute Obereinstimmung.

8. Die Rekursionsformel (8') in Verbindung mit der Limesrelation (5) liigt sich formal als Kettenbruchentwicklung schreiben; es handelt sich um die bereits einleitend erwiihnten bekannten Kettenbriiche.

Sind Zk, Nk Ziihler und Nenner des k-ten N~iherungsbruchs des Ketten- bruchs

al a2

b l + t ~ q - ,

so ist Z~ = a~, N~ = b~, w~ihrend man Zo = 0 , No = 1 setzt. Es gelten dann die Rekursionsformeln

Zk+l = bk+l Z~ + ak+l Zk-1 , (k ~ 1).

Nk+1 = bk+1 Nk + ak+1 Nk-1

Wird nun (8) durch (x + 1) TM dividiert, so stellt sich heraus, dat~ die Rekursionsformel

/x - 1~2 , . (k > 1) M k + l = (2 k + 1) M k + (yZ ~ k s) ~x -~ l ] ~Wk-1

erfiillt ist, wenn Mk eine der Folgen k! (x + 1)k Hk(x, + y ) oder z. B. auch

k! Hk(x, y) - - Hk(x, - - y) = Zk (x + 1)k 2

oder

k! Hk(x, y) + H k ( x , - y) = Nk (x + 1)k 2

bedeutet. Fiir diese Folgen ist Z o = 0 , No -- 1 ; Z 1 = y(x - - 1)/(x + 1),

N 1 = 1, und fiir k - + oo strebt ----,Zk xY - - 1 Nk xY + 1"

Setzt man demnach (x - - 1)/(x + 1) ---- t , also x = (1 + t)/(1 - - t) und iiberdies bk+l = 2 k + 1 fiir k ~ 0 , al = y t , ak+l -- (y~ ~ k2)t ~ fiir k > 1, so wird Z1 -- a l , N1 = b l , und die Zk, Nk erweisen sich als N~iherungs- z~ihler und -nenner des Kettenbruchs

(l+t~y l - t / ~ 1

y t (yZ__ 12)t z ( 1 4 a ) 1 + . ( y 2 m 2z)t z , *+t/y

i----i/ + 1 3 + 5 + ,

482

zugleich ist bewiesen, da~ dieser gegen den links angegebenen Wert kon- vergiert. Er bricht fiir jedes ganzzahlige y ab.

Auf die gleiche Weise ergibt sich aus den Entwi&lungen des Abschnitts 6, zuglei& formal als Ausartung y ~ 0 yon (14a)

1 , 1 + t t l ' t* 2ztt (14b) ~- ,og ~ = 1 -- - -

x

Schlie~lich entspringt aus der in Abschnitt 7 aufgestellten Rekursionsformel, der die Funktionen kl Hk(1, z), kl H k ( 1 , - z) sowie deren halbe Summe und halbe Differenz genLigen, und dem dort gefiihrten Konvergenzbeweis der auda auf vielf~iltige andere Art zu gewinnende Kettenbruch

ez--1 ~ z z2 z 2 (14c) e z + l 2 + 6 + 1 0 + ,

9. Zum Abschlug machen wir eine Anwendung yon den einfachsten der in Abschnitt 6 aufgestellten N~herungsausdr[i&e f~ir den Logarithmus, die wir mit x = 1 + u wie folgt schreiben

3 u(2 + u) log (1 + u) ~ fl(u) = 2 u/(2 + u) und log (1 + u) ~ f2(u) = 6 + 6 u + u "

Wird das Kapital K mit dem Zinsfufl i nachschiissig verzinst und unter Zuwachs ersparter Zinsen nachschiissig getilgt, so gilt

K = (Z + T) I --v~ I

worin Z = K i die erste Zinsrate und T die erste Tilgungsrate bedeutet. Hieraus r a = (Z + T)/T, also n = log (1 + Z/T) : log (1 + Z/K) oder mit der N~iherungsfunktion fl

n ~ (K + Z/2) : (T + Z/2) (15)

als Approximation fiir die Tilgungsdauer bei gegebener erster Zins- und Tilgungsrate.

Die N~iherung f~ liefert folgenden durch Korrekturglieder verfeinerten Aus- druck

( Z'/12 ~ ( T + Z / 2 ZZ/12 n K + Z/2 K + Z/21 : q LF Z/2/"

Wir gehen zum Quadrat fiber und unterdriicken dabei die Quadrate der Korrekturglieder, wodurch rich die Genauigkeit sogar no& erh~Sht. So entsteht

1 / K z + K Z + Z*/12 n ~ V ~ + TZ + ZZ/12 " (16)

31, 483

Man kann dies auda unmittelbar gewinnen, indem man die N~iherung u

log (1 + u) ~V1 + u + u~/12- f(u) verwendet. Da sich bei der ~iquivalenten

1 + t 2 t das Fehlerglied f i i r t - + 0 miihelos als t5/15 Formel log 1 - - t ~ V1 - - 2 t~/-g

erkennen l~iflt, wird log x - - f ~ l ~ (X - -1 ]5 3 2 ( V x - - 1 / 5 \ x + l ] ~ - ~ \ ~ ] fiir x - - ~ l ; der

Vergleich mit der fiinften Potenz yon ( l / x - - 1 ) / ( l / x + 1) liefert hier ebenso wie bei f2 in weiten Bereichen yon x eine befriedigende Genauig- keit. Da fiir praktische Anwendungen Z /K = i klein ist, kommt fiir den Fehler yon (16) der Fehler der Ann~herung fiir log (1 + Z/K) kaum in Betracht; fiir x ---- 1 + Z/T ist ( l / x - - 1 ) / ( l / x + 1) ---- ZI(1/Z + T + l / ~ . So ergibt sich, daf~ auf der rechten Seite yon (16) ein Fehlerglied yon der

.. 32 K Z 4 . . . . Grof~enordnun~ - - - - anzubrmgen 1st, wenn mcht T lm

~" 15 (VZ + T + V-T) TM

Vergleich zu Z allzu klein wird; die drei Terme im Nenner von (16) diir- fen aber sehr wohl von einer und derselben Griiflenordnung sein.

Die nachstehende Tabelle gibt zahlenm~iflige Beispiele zur Formel (16); die Werte von T find jeweils so gew~ihlt, daft die Tilgungsdauer n streng ganzzahlig ist.

Fehler- relativer K = 100 Z T n n wahrer gliedd. Fehler

genau It. (16) Fehler Textes yon (16)

6 31,4110 3 3,0000 0,0000 0,0000 0,0000 6 7,58680 10 9,9976 0,0024 0,0023 0,00'024 6 1,82267 25 24,787 0,213 0,184 0,0085 6 0,646154 40 38,126 1,874 1,413 0,047

1,5 7,66800 12 12,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,5 1,84271 40 39,9897 0,0103 0,0100 0,00026 1,5 0,437057 100 99,073 0,927 0,812 0,0093 1,5 0,152618 160 151,932 8,068 6,168 0,050

Eingegangen 29. Januar 1955.

[1] Beckerath, U. yon: ,Beitrag zur Bausparkassen-Mathematik. ~ B1. f. Vers. Math. 1 (1930), S. 271--283.

[2] Heine, E.: ,Uber die Z~.hler der Niiherungswerte yon Kettenbriichen." Journ. f. Math. 57 (1860), S. 231--247.

[3] Laguerre: ,Sur la fonction \ x - - 1 ] ." Boull. de la Soc. Math. de France 8

(1880), S. 36--52. [4] Perron, 0.: ,Handbuch der Lehre von den Kettenbriichen. ~ 1. Aufl. (1913). [5] Thom~, L. W.: ,l~ber die Kettenbruchentwicklung der Gautgschen Funktion

F(a, 1, y, x). ~ Journ. f. Math. 66 (1866), S. 322--336.

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