Technische Universität BerlinFakultät V - Verkehrs- und Maschinensysteme - Institut für Mechanik

FG Systemdynamik

und ReibungsphysikDipl.-Ing. B. Grzembawww.reibungsphysik.de

Dynamik von SchienenfahrzeugenHausaufgabe 2: Dynamik von Mehrkörpersystemen

2D-Modell eines Schienenfahrzeugs mit 5 FHG

Bild aus Knothe, K. und S. Stichel �Schienenfahrzeugdynamik�, Springer 2003, Seite 79

a) Wofür könnte das System als Modell dienen? Welche Ergebnisse können gewonnen werden?

b) Im Allgemeinen besitzt das System 9 Freiheitsgrade (3 starre Körper in der Ebene). Wie kanndiese Zahl reduziert werden?

c) Finden Sie die Lagrange-Funktion des Systems. Vernachlässigen Sie zunächst die Dämpfungs-terme. Die Gleislage zh(t) und zv(t) wirken als äuÿere Anregungen des Systems. Der NickwinkelϕW soll klein sein.

d) Bestimmen Sie mit Hilfe der Langrangeschen Gleichungen das Bewegungsdi�erentialgleichungs-system der Form M˜q + K˜ q = f . Erweitern Sie das System um die passenden Dämpfungsterme.Bedenken Sie, dass alle Dämpfer parallel zu Federn geschaltet sind, die Dämpfungsmatrix kanndaher direkt angegeben werden.

Ab hier als Hausaufgabe

e) Bringen Sie das System 2. Ordnung für 5 FHG in die Form 1. Ordnung: A˜ · y + B˜ · y = f . Dabei

enthält der Variablenvektor y =(v, q)T

, mit v = q, nun 10 Einträge.

f) Rechnen Sie zunächst ohne Dämpfung und äuÿere Kräfte weiter. Zeigen Sie, wie man mit Hilfedes Ansatzes y = y

0eλt auf eine Eigenwertgleichung der Form

(λI˜− C˜) · y0 = 0 kommt.

g) Finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren mit einem Programm Ihrer Wahl (z.B. Octave,Matlab, Maple etc.) und bestimmen Sie damit die Eigenfrequenzen und Eigenformen in den Ver-schiebungen (Hinweis beachten) für die fünf Freiheitsgrade unter Verwendung der folgenden Werte(Stei�gkeiten entsprechen einer Sekundärfesselung). Bitte geben Sie die Eigenfrequenzen in Hz anund normieren Sie die rellen Eigenvektoren so, dass der betragsmäÿig gröÿte Eintrag stets ±1beträgt.

mW = 32 · 103kg ΘW = 2 · 106kgm2 mR = 5600kg ΘR = 224kgm2

r0 = 0,46m ex = 13,2m ez = 2m cx = 320 · 103N/m cz = 860 · 103N/m

h) Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit denen aus der Tabelle 4.3, Seite 102 im Buch �Schienenfahr-zeugdynamik� von K. Knothe und S. Stichel und identi�zieren Sie die einzelnen Eigenmoden.

i) Was würde sich qualitativ an den Ergebnissen ändern, wenn die Dämpfung berücksichtigt würde?

j) Hätte man für die Stei�gkeiten Werte der Primär- anstatt der Sekundärfesselung verwendet: Er-warten Sie höhere oder niedrigere Eigenfrequenzen?

Hinweis:Man erhält bei der Berechnung Eigenvektoren, deren Einträge komplex sind. Um einen Vektor zuerzeugen, der physikalisch deutbar ist, kann je der Betrag der komplexen Zahl gebildet und mit demVorzeichen der Phase der komplexen Zahl versehen werden.

Abgabe bitte bis zum 17.05., gemeinsame Abgaben sind maximal zu dritt möglich.