Wissenschaftliches Arbeiten Teil 4: Definitionen und Logikwi.f4.htw-berlin.de/users/messer/LV/WI-WIA-SS10/Folien/WIA-04/04-Logik-2.pdf · 3 Wissenschaftliches Arbeiten – SS2010

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Wissenschaftliches Arbeiten – SS2010 - Teil 4/Logik 03.05.2010 1

Wissenschaftliches Arbeiten

Teil 4: Definitionen und Logik

Wissenschaftliches Arbeiten – SS2010 - Teil 4/Logik 2

Literatur

[4-1] Detel, Wolfgang: Grundkurs Philosophie. Band I: Logik, Reclam, 2007

[4-2] Huene-Hoyningen, Paul: Formale Logik. Eine philosophischeEinführung. Reclam, 1988

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Zitierte Literatur

[4-A] Leibniz, Gottfried Wilhelm: Die Theodizee. Bd I, Suhrkamp,2. Auflage, 1999

[4-B] Hübner, Kurt: Kritik der wissenschaftlichen Vernunft. Alber-Broschur, 3. Auflage, 1986

[4-C] Wittgenstein, Ludwig: Tractatus logico-philosophicus.Suhrkamp, Werksausgabe Band 1, 6. Auflage, 1989

[4-D] Kant, Immanuel: Schriften zur Naturphilosophie. Suhrkamp,Werksausgabe Band 9, 1977

[4-E] Popper, Karl R.: Die offene Gesellschaft und ihre Feinde. 2.Band, Bern, 1970


Einführung

• Logik handelt von Begriffen, Urteilen und Schlüssen.• Die Bedingungen für die Korrektheit der Verknüpfungen

dieser drei ist Thema der Logik.• Logik ist kein Mittel zur Erkenntnis.• Logik prüft nicht den Wahrheitsgehalt von Aussagen.• Logik definiert nicht, was "wahr" bedeutet.

Ihr ist es egal, was "wahr" und "falsch" bedeuten.• Logik beschreibt die korrekten Übergänge von Aussagen.

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Geschichte

• Die klassische Logik geht auf Aristoteles zurück.• Bis auf ein paar Kleinigkeiten blieb sie so bis ins 19.

Jahrhundert, genauer bis Gottlob Frege.• Die "neue" Logik entstand durch Personen wie

– Gottlob F. Frege (1848-1925)– Bertrand Russell (1872-1970)– Rudolf Carnap (1891-1970)– Kurt Gödel (1906-1978)

• Die "neue" Logik ist stark formalisiert und mathematisiert.


Klassische Logik

• Die Klassische Logik besteht aus der– Lehre vom Begriff– Lehre vom Urteil (heute: Aussage)– Lehre von den Schlüssen

• Die Moderne Logik– ordnet das alte Schema etwas um– verallgemeinert es– formalisiert alles, d.h. Abstraktion von Semantik und

Pragmatik: Kalküle

Im folgenden wird entlang der Struktur der klassischen Logik- bis auf die Formalisierung - vorgegangen und am Endedie modernen Erweiterungen erwähnt.

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Grundsätze der klassischen Logik

• Satz der Identität: (Metasprachlicher Satz)Jedes gleich lautende Zeichen wird im gesamten Kontext in derselben Bedeutung verwendet.

• Satz des Widerspruchs: Eine Bejahung und eine Verneinung sind nicht gleichzeitig zulässig.

• Satz vom ausgeschlossenen Dritten: Tertium non daturBezug auf die 2-wertige Logik: Derselbe Ausdruck ist entweder wahr oder falsch, etwas Drittes ist nicht möglich.

• Satz vom zureichenden Grund:Alles hat eine Ursache oder geschieht aus einem bestimmten Grund.


Bemerkungen

• Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten wird u.a. von den Intuitionisten in der Mathematik und von der Erlanger Schule deshalb abgelehnt, weil er nicht für alle Fälle plausibel gemacht werden kann.

• Anhänger dieser Position akzeptieren u.a. keine indirekten Beweise.

• In der Informatik, genauer in der KI, wird dieses Problem mit der "Closed world-Assumption" problematisiert: Nur innerhalb einer endlichen Welt gilt das Tertium non daturkorrekt.

Aber: das sind Minderheitenpositionen(die trotzdem korrekt sein können).

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Satz vom zureichenden Grund I

• Ons ≈ das Sein - das, was wirklich existiert• Ontologie = Lehre vom Sein bzw. den wirklich existenten

Dingen als Teilgebiet der Erkenntnistheorie

• ontologisch ≈ Gebunden an etwas Wirkliches

• Für die Klassiker war die Logik ontologisch und nicht einfach nur eine Rede ohne Wirklichkeitsbezug.

• Daher war der Satz vom zureichenden Grund ein Prinzip der Logik - heute wird dies abgelehnt und diese Ablehnung noch in einer Formalisierung radikalisiert.


Satz vom zureichenden Grund II

• Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)"das andere Prinzip ist das des bestimmenden Grundes, wonach nichts geschieht, ohne daß es eine Ursache oder wenigstens einen bestimmten Grund gibt" [4-A, §44, S.273]

• Auch für Immanuel Kant (1724-1804) war die Kausalität ein Grundprinzip: "Alle Veränderungen geschehen nach dem Gesetz der Verknüpfung der Ursache und Wirkung" [KrV B 232]

Die Gegner:

• Für David Hume (1711-1776) war Kausalität nur eine Gewohnheit.• Für Heisenberg, Bohr und von Weizsäcker (Kopenhagener Schule)

gibt es keine Kausalität, jedenfalls in der Quantentheorie.Siehe dazu das 2. Kapitel von [4-B].

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Aussagenlogik - 1. Teil I

• Deskriptive Aussage = Aussage als Teil eines erfolgreichen assertiven Sprechakts.

• Ein Sprechakt ist ein Handeln durch Sprechen. In der Sprechakttheorie wird dies ausgearbeitet (Austin, Searle).

• Assertiv bedeutet, dass etwas einer Sache zugeordnet wird.

• Jeder deskriptiven Aussage kann immer nur eine von zwei Möglichkeiten zugeordnet werden: "wahr" oder "falsch". Es spielt keine Rolle, ob diese Zuordnung korrekt ist.

• Abstraktionsschritt:– Die Aussagen werden als nicht weiter zerlegbar angesehen.– Ob es sich tatsächlich um etwas handelt, von dem sinnvoll gesagt

werden kann, ob es wahr oder falsch ist, spielt keine Rolle.– Daher können formal statt Aussagen auch Bedingungen oder

Prädikate benutzt werden.


Aussagenlogik - 1. Teil II

• Aussagenvariable = Platzhalter für Elementaraussage, Prädikat(or) oder Bedingung

• Aussagenform = Ausdrücke mit Aussagenvariablenverknüpft mit Junktoren und Konstanten.

Beispiel:Karl ist ein Schlawiner. [Aussage]

K ist S [Aussagenform]

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Logische Operatoren / Junktoren

genau dann - wenn

wenn - dann

entweder - oder

nicht

oder

und

UmgangssprachlichErläuterungZeichen

Implikation (Subjunktion)" ⇒ "

Äquivalenz (Bijunktion)" ⇔ "

Exklusives Oder" ⊕ "

Negiertes Oder" ∇ "

Negiertes Und (Sheffer-Strich)" | "

Logische Negation" ¬ "

Logisches Oder (Disjunktion)" ∨ "

Logisches Und (Konjunktion)" ∧ "

Statt " ⇔ " kann auch " = " geschrieben werden.


Lehre vom Begriff

• Individualbegriffe (singuläre Termini)Diese Begriffe meinen etwas Einzelnes:– Namen, z. B. "Karl der Große"– Hinweisende Kennzeichnung, z. B. "dieses Auto da"– Umschreibungen von Dingen, z.B. "der Stein, über den ich

stolperte"

• Universalbegriffe (generelle Termini)Diese Begriffe beschreiben gemeinsame Eigenschaften vieler Individuen, z.B. Säugetiere, Kreidestück, Auto, rot, klein

• Universalbegriffe lassen sich hierarchisch ordnen:Unterbegriffe desselben Knotens (Oberbegriffs) unterscheiden sich durch mindestens eine Eigenschaft, während der Oberbegriff das Gemeinsame aller Unterbegriffe darstellt.

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• Begriffe werden festgelegt (Definition): Das-festzulegende = Das-was-festlegtDefiniendum = Definiens

Z.B. "Junggeselle = Unverheirateter junger Mann"

Definition = Festlegung der Bedeutung eines Begriffs

• Begriffe werden erläutert (Explikation):

Das-zu-erläuternde ≈ Das-was-erläutert

Explicandum ≈ Explikat (Explicans)

Z.B. Schmerz ≈ unangenehme Empfindung

Explikation = Umschreibende Erläuterung der Bedeutung eines Begriffs

Festlegen von Begriffen


Definieren als Sprechakt (Moderne Version)

• Sie sind weder falsch noch wahr oder richtig.• Sie sind keine Aussagen.• Sie sind nützlich oder nicht nützlich.• Sie verpflichten anschließend

– den Sprechenden das Festgelegte entsprechend des Aktes zu übereinstimmend benutzen

– den Hörenden das Geäußerte entsprechend dem Akt zu interpretieren

• Sie entscheiden über das Verständnis.

Definitionen und Explikationen sind deklarative Sprechaktemit folgenden Konsequenzen:

Dies betrifft die heutige moderne Auffassung, die Realdefinitionen ablehnt.

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Weitere Definitionen

• Konzept ≈ Zusammenfassung des Wesentlichen, des Kerns (lat. concipere: zusammenfassen)

• Abstraktion ≈ Weglassen des aus der Sicht des Zwecks Unwichtigen (lat. abstrahere: weglassen)

• Semantik = Bedeutung

• Bedeutung ≈ Das, was in einer Äußerung ausgedrückt wird

• Synonym = Verschiedene Worte mit derselben BedeutungZ.B. Semantik / Bedeutungoder Schlips / Krawatte

• Homonym = Äquivokation = Dasselbe Wort mit verschiedenen BedeutungenZ.B. "Schloss": Fahrradschloss und Königsschloss, oder Tau


Nominaldefinition

• Nominaldefinition = Rückführung auf einen oder mehrere Begriffe, so dass das Definiendum durch das Definiensohne Bedeutungsveränderung bei allen Benutzungen ersetzt werden kannNominaldefinitionen sind bloße sprachliche Festsetzungen ohne jeden ontologischen Bezug.

Beispiele– RE = Rosa Elefant– Studentin = Frau, die an einer Universität oder

Fachhochschule immatrikuliert ist

• Derartige Definitionen sind häufig eine Verdeutlichung der Semantik.

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Verbaldefinition

• Verbaldefinition = Erläuterung des Begriffs anhand seiner ethymologischen Herkunft

Beispiel:Abstrahieren kommt vom Lateinischen abstrahere und das heißt Weglassen.

Schlechte Definition, weil viel unklar bzw. implizit gelassen wird


Realdefinition

• Realdefinition = Eine Sache beschreibend festlegenRealdefinitionen müssen so gewählt werden, dass das Definiendum tatsächlich die in der Definition angegebenen Eigenschaften besitzt, d.h. es besteht ein ontologischer Bezug.

• Es wird ein deklarativer und ein assertiver Akt vollzogen. Daher sind diese Definitionen richtig oder falsch.

Eine Realdefinition behauptet, dass es tatsächlich Dinge entsprechend der Definition gibt.

Eine wichtige Bedingung für eine Realdefinition ist, dass dasDefiniens das "Wesen" des Definiendum wiedergibt.

Aber was ist das Wesen einer Sache?

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Was ist das Wesen einer Sache? I

• Bei Aristoteles ist das Wesen das Wassein einer Sache.• Zum Wesen einer Sache sagt u.a. Immanuel Kant:

"Wesen ist das erste innere Prinzip alles dessen, was zur Möglichkeit eines Dinges gehört" [4-D, A III]

Für Kant ist die Weise des Gegebenseins der Sache für das Bewusstsein wichtig, für Aristoteles die Sache selbst.

Aus der Sicht der Logik ist die Art der Definition vollkommenunerheblich, jedenfalls wenn die moderne nicht-ontologischeAuffassung eingenommen wird.

Aus der Sicht der Wissenschaft, die inhaltlich arbeitet, bestehthier echter Klärungsbedarf.


Was ist das Wesen einer Sache? II

• Begriffsrealismus bedeutet, dass es einen Gegenstand bzw. einen Sachverhalt gibt, der die angegebenen Eigenschaften des Definiens besitzt.

Beispiele:– Karl der Große = Person lebend zum Beginn des Mittelalters– Schneewittchen = Frau, die die sieben Zwerge kannte

• Fragen– Sind die beiden obigen Definitionen korrekt?– Sind die definierten Wörter sinnvoll?

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Was ist das Wesen einer Sache? III

• Besser ist wohl von Sprachspielen (Wittgenstein) zu sprechen, ohne damit gleichzeitig einen ontologischen Bezug zu meinen (der aber behauptet werden kann).

• Sprachspiel X ≈ Kontext aller in der Sprachgemeinschaft anerkannter Verwendungen von X.

• Wesen von Y = Summe der notwendigen und hinreichenden Eigenschaften von Y innerhalb des betreffenden Sprachspiels


Beispiel

• Als Nominaldefinition ist dies vielleicht in Ordnung, obwohl Sauerstoff kein Metall ist, d.h. hier wird etwas definiert, was es in dieser Form in der Chemie nicht gibt.Diese Nominaldefinition ist deshalb wohl auch nicht nützlich,wohl aber formal korrekt.

• Als Realdefinition ist dies falsch, weil Sauerstoff kein Metall ist.

Sauerstoff = Chemisches Element mit der Ordnungszahl 8,Metall, Atomgewicht ist 15.9994

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Weitere Definitionsarten

• Operationale Definition ≈ Definition mittels einer Formel oder eines Messverfahrens

Beispiel: Kinetische Energie = (m/2)*v2

Nachteil dieser Definitionsart ist das Problem, dass bei eigentlich „äquivalenten Begriffen“, die auf unterschiedlichen Messverfahren beruhen, die Äquivalenz nicht erkennbar ist.

• Dann gibt es noch weitere Arten....


Explikation I

• Sinn der Explikation:Einen unklaren Begriff durch etwas Klareres klären, ohne es dadurch vollständig und endgültig festzulegen

• Beispiele– Schmerz ≈ Inneres unangenehmes Empfinden

– Wissen ≈ Kenntnis, um anders oder besser handeln zu können

– Seele ≈ Das, was ein Lebewesen belebt

– Gott ≈ Die Quelle von allem, was existiert

• An diesen Beispielen kann erkannt werden:– Explikationen sollen erste Näherungen sein.– Explikationen können einzelne Aspekte ohne andere

auszuschließen besonders thematisieren.

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Explikation II

• Bei der Explikation geht es nicht unbedingt um bedeutungsneutrale Ersetzbarkeit: Das Explikat kann durchaus "mehr" Semantik als das Explicandum haben, aber auch "weniger" Semantik.

• Dieses "Mehr" kann zu Fruchtbarkeit im Sinne von weiteren Gedanken oder Thesen führen.

• Das Explikat sollte aber entsprechend dem Gebrauch genügend ähnlich dem Explicandum sein - ähnlich wie in einer Realdefinition.


Explikation III

• Eine Sonderform der Explikation ist die Erläuterung eines Begriffs durch Beispiele:– Beispiele typischer Verwendung– Gegenbeispiele dazu– Beispiele in anderen Kontexten, z.B. zynisch, witzig, albernd– Beispiele für Grenzfälle sinnvoller Anwendungen– Beispiele für Analogien oder Metaphern

• Diese Form drückt den Sprachspielcharakter von Begriffen sehr gut aus.

• Dies ist aber in den "exakten" Wissenschaften verpönt.• Aber: Dies ist wohl die einzige mehr oder weniger

umfassende Annäherung an einen Begriff ohne eine Verarmung.

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Einige Explikationen

• Sache = Gegenstand = Objekt ≈ etwas, von dem sinnvoll geredet werden kann

• Sachverhalt = Situation ≈ Mehrere in Beziehung stehende betrachtete Sachen

• Zeichen = Wort ≈ das, was bei der sprachlichen Kommunikation wahrnehmbar ist(Zeichen wird hier als rein syntaktisch verstanden)

Mit dieser Explikation von Sache kann auch über Unmögliches,Zukünftiges oder Fiktives sinnvoll geredet werden.Würde Sache durch einen Bezug definiert werden, gäbe eshierbei Probleme.


Regeln für das Definieren

• Im Falle von Realdefinitionen und nützlichen Nomimal-definitionen gilt das Gebot der Ähnlichkeit:

Definiendum und Definiens sollten innerhalb des betreffenden Sprachgebrauchs hinreichend ähnlich sein.

• Grundsätzlich gilt das Zirkelverbot:

Kein Definiendum darf sich als Teil seines Definiensvoraussetzen.

Bei rekursiven Definitionen muss es immer einen Weg ohne Rekursion geben.

Analog gilt dies im abgeschwächten Maße auch für Explikationen.

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Der Anfang I

• Aufgrund des Zirkelverbots muss es Begriffe geben, die nicht zirkelfrei definiert werden können.

• Diese Begriffe mögen Grundbegriffe heißen.• Diese können nur

– durch Explikationen, insbesondere durch "außersprachliche" Handlungen, z. B. durch Zeige-Handlungen

– durch implizite Definitionen

festgelegt, besser: eingegrenzt werden.


Der Anfang II - Trilemma

• Dogmatische Festlegung• Zirkel• Infiniten Regress

Es zeigt sich, dass die Grundbegriffe durch folgendedrei Möglichkeiten festgelegt werden könnten:

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Prädikat / Prädikator

• Begriff ≈ Sprachspiel mit folgenden Aspekten– Zeichen (Syntax)– Semantik, Bedeutung (was ausgedrückt wird)– Pragmatik (was bewirkt wird, was den Kontext bildet,

Intention: was gewollt wird)– Intension (Begriffsinhalt)– Extension (Begriffsumfang)

• Prädikat = Prädikator = Etwas, was einen Begriff meint, und von dem sinnvoll ein Zutreffen bzw. Nicht-Zutreffen in einer Situation gesagt werden kann

Beispiel:ist gerade Zahl [Prädikator]Entschuldigung! [kein Prädikator]


Weitere Auffassungen über "Bedeutung"

• Die Bedeutung ist eine psychische Vorstellung über die gemeinte Sache bzw. gemeinten Sachverhalt.

• Bedeutung ist das, auf das referenziert, als Bezug genommen wird.

• Bedeutung ist das, was durch das Zeichen ausgedrückt wird.• Ein Begriff ist ein Abstraktor, der als Bedeutung das

Gemeinsame aller seiner sinnvollen Anwendungen besitzt.

Es gibt noch andere Auffassungen über "Bedeutung":

Die Position von Wittgenstein:

Die Bedeutung eines Zeichens ist dessen Gebrauch.

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Extension und Intension I

• Extension = Begriffsumfang = Klasse aller Objekte bzw. Sachverhalte der Verwendung, denen das Prädikat in richtiger Weise zugesprochen werden kann

• Zusprechen eines Prädikats P an x = Das Urteil fällen, dass– das Objekt x die Eigenschaft P hat.– dem Objekt x die Eigenschaft P zukommt.– das Objekt x unter den Begriff P fällt.– das Objekt x vom Begriff P umfasst wird.

• Beispiele:– Extension(Kuh) = Klasse aller Kühe, z. B. Emma, Klara etc.

Aber nicht Rudolf, denn Rudolf ist ein Rentier– Extension(Mensch) = Klasse aller Menschen, z. B. Sokrates

Aber nicht Hannibal, denn Hannibal ist ein Kater


Extension und Intension II

• Intension = Menge aller Eigenschaften der Objekte der ExtensionBeispiele– Mensch: { Vernünftig, Säugetier }– Fisch: { Lebewesen, kein Säuger, lebt im Wasser }

• Die Intension kann durch einen logischen Ausdruck formuliert werden, der als Bedingung für die Klasse der extensionalenObjekte fungiert.

• Dieser Ausdruck ist ein guter Kandidat für das Definiens.• Besteht eine Begriffshierarchie, so kann ein Begriff und damit

seine Intension mit dem nächsten Oberbegriff und den von diesen unterscheidenden Merkmalen definiert werden.

Nicht mit Intention verwechseln: Dies bedeutet das Gewollte/Beabsichtigte.

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Konnotationen

Intension und Extension bilden zusammen die Semantik,sofern Konnotationen ignoriert werden.

Konnotation ≈ weitere meist wertende Ergänzung der SemantikAusdruck von Pragmatik (Umfeld)

Beispiel:

Schlips: privat, im Freundeskreis, ProletarierKrawatte: fein, offizielle Anlässe, Akademiker

Obwohl es Synonyme sind, sind es doch keine....


Noch weitere Beispiele

Besteht ein Unterschied zwischen folgenden Synonymen?

(1) Samstag Sonnabend(2) Morgenstern Abendstern

Offenbar besteht eine extensionale Gleichheit, die bei (1) einerein sprachliche Konvention ist, aber bei (2) das empirischeWissen voraussetzt, dass es sich in beiden Fällen um die Venushandelt.(Nebenbei: Es handelt es sich nicht um einen Stern...)

(3) Paarzeher Wiederkäuer

sind intensional unterschiedlich, aber extensional gleich. Damitsind es keine Synonyme. Gilt das auch für unsere Venus?

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Präzision I

Wenn Sprache nicht stimmt, dann ist das, was gesagt wirdnicht das, was gemeint ist. Ist das, was gesagt wird, nicht das,was gemeint ist, so kommen keine guten Werke zustande.

Konfuzius (551-479 v. Chr.)

Die Idee, dass die Genauigkeit der Wissenschaft oder derwissenschaftlichen Sprache von der Genauigkeit dieser Begriffeabhängt, ist sicher sehr plausibel, aber ich halte sie nichtsdesto weniger für ein bloßes Vorurteil.

Popper [4-E, S.27]


Präzision II

• Vagheit = Unklarheit von einem Objekt feststellen zu können, ob es zur Extension gehört oder nicht

• Mehrdeutigkeit = Umfang der Anwendungen eines Begriffes in nicht intendierten Situationend.h. die Extension ist zu groß

• Präzision = Geringe Vagheit und geringe Mehrdeutigkeit

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Beispiel I

Junggeselle = männlich ∧ unverheiratet ∧ jung

Junggeselle(x) = männlich(x) ∧ unverheiratet(x) ∧ jung(x)

Ist das vage?Ist ein 4 jähriger Junge ein Junggeselle?Ist ein 90 jähriger Herr ein Junggeselle?

jung(x) = Alter(x) >= 18


Beispiel II

Ist das mehrdeutig?Ist der Papst ein Junggeselle?Ist ein Witwer ein Junggeselle?

Junggeselle(x) = männlich(x) ∧ heiratsfähig(x) ∧ ¬ war-verheiratet(x)

heiratsfähig(x) = (Alter(x) >= 18) ∧ ¬ Heiratsverbot(x)

Dies ist gleichzeitig ein Beispiel einer logischen Rekonstruktion.

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Logische Rekonstruktion

• Rekonstruktion ≈ Interpretierende Nachbildung einer Sache

• Logische Rekonstruktion ≈ Rekonstruktion mit den Mitteln der Logik bzw. unter Verwendung von Prädikaten

• Jede Rekonstruktion ist immer eine Interpretation, die nie die volle Fülle der interpretierten Sache einfangen kann.

• Sprachliche Dinge sind nie reale Dinge, oder: Dinge in einem anderen Modus.


Nutzen und Beachtung von Definitionen

• Wenn ein Begriff von einem Autor nicht definiert wird, so muss angenommen werden, dass der Autor diesen Begriff innerhalb dessen Kontext umgangssprachlich oder gewöhnlich meint.

• Diese Interpretation ist positiv, also zugunsten der Autors durchzuführen.

• Anders formuliert:Bemühen Sie sich zuallererst den Anderen zu verstehen.

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Lehre vom Urteil

• Urteil = Satz, der einen Sachverhalt ausdrücktAussage = Urteil

• Im Urteil werden Begriffe zu einem Satz, einer Aussage verknüpft:– Subjekt = Über diesen Begriff wird im Urteil etwas ausgesagt.– Prädikat = Mit diesem Begriff wird etwas ausgesagt.

– "Subjekt S ist Prädikat P" oder "S ε P" oder P(S)– "ist" ist eine verbindende Kopula

• Die Aussageform "S ε P" ist hierbei die einfachste; die Formen ergeben sich durch Anwendung von verschiedenen Merkmalen


Lehre von den Schlüssen (Syllogistik)

• Urteil ist eine Verknüpfung von Begriffen.• Ein Schluss ist eine Verknüpfung von Urteilen.• Ein Schluss besteht aus:

– 1. Prämisse (Obersatz, Proposition)– 2. Prämisse (Untersatz, Proposition)– Schlusssatz (Konklusion)

• Die Sätze haben immer ein Prädikat P, einen den Prämissen gemeinsamen Mittelbegriff M und ein Subjekt S.

"Ein Syllogismus ist eine Überlegung, bei der, wenn bestimmteVoraussetzungen gesetzt sind, etwas von diesen verschiedenesmit Notwendigkeit aus ihrer Beschaffenheit folgt."

Aristoteles, Analytica Priorara I, 4.25b

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Ein Beispiel

(1) Alle Menschen sind sterblich.(2) Sokrates ist ein Mensch.

Also ist Sokrates sterblich.

Subjekt S: SokratesPrädikat P: sterblichMittelbegriff M: Mensch


Meta-Ebenen I

• Sätze wie "Alle Menschen sind sterblich" gehören zur Objektsprache.

• Sätze über Sätze der Objektsprache gehören zur Meta-Sprache, z.B. Der Satz "Alle Menschen sind sterblich" ist falsch.

• Einen Ausdruck anwenden heißt diesen Ausdruck direkt meinen.• Einen Ausdruck erwähnen heißt über diesen Ausdruck etwas

meinen - dargestellt durch Klammerung mit "“.

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Meta-Ebenen II

• Objektsprachliche Aussageform = Aussageform mit Satzvariablen und Junktoren

Beispiel: A ∧ B

• Metasprachliche Aussageform = Aussageform mit objektsprachlichen Aussageformen, Satzvariablen und Junktoren

Beispiel: "A ∧ B" ⇔ "B ∧ A" oder: A ∧ B = B ∧ A

• Äquivalenz (⇔) ist die logische Gleichheit zwischen zwei Sätzen bzw. Satzformen auf der Meta-Ebene.


Beispiele

"Was ich jetzt sage, ist falsch" oder "Jetzt lüge ich"führt zu einem inneren WiderspruchHier sind zwei sprachliche Ebenen gemischt.

"Der folgende Satz ist wahr: 'Ich lüge'"führt zu keinem Widerspruch, denn der 2. Satz beziehtsich nicht auf den vorderen Teil (und umgekehrt).

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Implikation

• Die Implikation (⇒) ist eine Wenn-Dann-Verknüpfung, die zwei Aussagen samt Junktoren verbindet (Meta-Sprache)z. B. "Wenn es regnet, dann wird die Straße nass."Deutlicher: Wenn "Es regnet", dann "Straße wird nass".

• Die Implikation (->) ist eine Wenn-Dann-Verknüpfung zwischen Aussagenvariablen samt Junktoren.

⇔ bedeutet Äquivalenz, ⇒ bedeutet Implikation

Modus barbara(A -> B) ∧ (B -> C) ⇔ (A -> C)

Modus tollens(A -> B) ∧ ¬B ⇔ ¬A

Modus ponens(A -> B) ∧ A ⇔ B

KontrapositionssatzA -> B ⇔ ¬B -> ¬A

ErläuterungSatz


Was ist die moderne Logik?

• Die moderne Logik formalisiert die klassische. Dabei wird alles etwas umsortiert.

• Es werden Axiomensysteme sowie Regeln zur Transformation der Formen benutzt, so dass auf die Technik der Wahrheitstabellen bzw. Merksätze verzichtet werden kann.

• Es gibt verschiedene Logiken, z. B.– Aussagenlogik (wie oben, einfache Sätze)– Prädikatenlogik (Aussagenlogik + All- und Existenzaussagen)– Modallogiken ("Notwendig", "Möglich")– Fuzzy-Logik (Schlussfolgern mit einem "unscharfen" Zustand)– Deontische Logiken ("Erlaubt", "Verboten")– Epistemische Logiken ("Wissen", "Glauben")– Zeitlogik über zeitlichen Zusammenhänge ("vorher", ""nachher")– etc.

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Induktiver Schluss

• Dieser Schluss ist logisch falsch und daher hypothetisch.• Sonderformen der Induktion:

– Analogie-Schlüsse– Statistische Schlüsse– Schlussfolgern mit Bilder oder Metaphern

• Streng genommen sind das alles keine Schlüsse.

Es wird von Einzelaussagen (Fällen) auf eine allgemeineAussage geschlossen.


Deduktiver Schluss

• Dieser Schluss ist logisch korrekt, aber mehr auch nicht.

Es wird von Allgemeinaussagen auf eine individuelleAussage geschlossen.

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Analytisch - Synthetisch I

• Ein Urteil ist analytisch, wenn der Begriff des Prädikats im Begriff des Subjekts enthalten ist. [I. Kant]Beispiel:Dieser Junggeselle ist unverheiratet.

• Ein Urteil ist synthetisch, wenn der Begriff des Prädikats außerhalb des Begriffs des Subjekts ist. [I. Kant]Beispiel:Alle Menschen sind vernünftig.

Einige Philosophen, wie z.B. Quine, halten diese Unterscheidungfür falsch.


• Eine Aussage, die weder analytisch noch kontradiktorisch ist, wird synthetisch genannt.

• Alle empirisch sinnvollen Aussagen sind synthetisch.

Analytisch - Synthetisch II

• Analytische Aussagen lassen sich anhand der Definition (in welcher der dargestellten Formen auch immer) auf Wahrheit prüfen.

• Die Negation analytischer Aussagen ist immer falsch.

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a priori - a posteriori

• a posteriori = empirisch ≈ auf Erfahrung sich stützend

• a priori ≈ vor der Erfahrung liegend, Erfahrung möglich machend

• a priorische Erkenntnis ist nach I. Kant– "schlechterdings von aller Erfahrung unabhängig",– "vor sich selbst klar und gewiß",– durch "Notwendigkeit und strenge Allgemeinheit"

gekennzeichnet


Nun etwas Entspannung...

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