Wätzig · Mehnert · Bühler

Mathematik und Statistik

kompakt

Reihe Kompakt-Lehrbuch

Leistner · BrecklePharmazeutische Biologie kompakt7. Aufl., 2008

Wätzig · Mehnert · BühlerMathematik und Statistik kompakt1. Aufl., 2009

Weidenauer · BeyerArzneiformenlehre kompakt1. Aufl., 2008

Mathematik undStatistik kompaktGrundlagen und Anwendungen

in Pharmazie und Medizin

Hermann Wätzig, Braunschweig

Wolfgang Mehnert, Berlin

Wolfgang Bühler, Bonn

Mit 83 Abbildungen, 55 Tabellen

Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft mbH Stuttgart

Wätzig · Mehnert · Bühler

Anschriften der Autoren

Prof. Dr. Hermann Wätzig

Institut für Pharmazeutische Chemie

Technische Universität Carolo-Wilhelmina

Beethovenstr. 55

38106 Braunschweig

Dr.Wolfgang Bühler

Bundesinstitut für Arzneimittel

und Medizinprodukte (BfArM)

Kurt-Georg-Kiesinger-Allee 3

53175 Bonn

Dr. Christian Beyer

Pharmazeutisches Institut

Auf der Morgenstelle 8

72076 Tübingen

Hinweise

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ISBN 978-3-8047-2439-6

© 2009 Wissenschaftliche Verlagsgesellschaft mbH

Birkenwaldstr. 44, 70191 Stuttgart

www.wissenschaftliche-verlagsgesellschaft.de

Printed in Germany

Typografie und Umschlaggestaltung: deblik, Berlin

Satz: primustype, Robert Hurler GmbH, Notzingen

Druck und Bindung: Kösel, Krugzell

Umschlagabbildung: Andreas Herpens, istockphoto

Anschrift der Autoren

Dr.Wolfgang Mehnert

Institut für Pharmazie

Freie Universität

Kelchstr. 31

12169 Berlin

Vorwort

Mathematische und statistische Methoden sind für die Entwicklung, Optimierung undQualitätskontrolle von Arzneimitteln unentbehrlich. Dabei sind häufig keine tiefge-henden Kenntnisse der Mathematik und Statistik erforderlich, um die meist anwen-dungsorientierten Fragestellungen lösen zu können. Allerdings müssen einige Grund-lagen beherrscht werden. Es gibt zahlreiche Mathematik- und Statistiklehrbücher, hierwird aber o bereits umfassendes Wissen der Grundlagen vorausgesetzt. In dem vor-liegenden Buch wurde deshalb versucht, die „richtige Dosis“ an mathematischem Wissenfür Pharmazeutinnen und Pharmazeuten zu finden. Das erforderliche Basiswissen istschnell zugänglich, aber auch weiterführendes Wissen zum Nachschlagen ist vorhanden.Das relevante Wissen wird anschaulich an Beispielen aus dem Alltag oder aus derpharmazeutischen Praxis dargestellt.Mit dem vorliegenden Buch haben wir auch versucht, die mathematischen und statisti-schen Anforderungen zur Ausbildung der Studierenden der Pharmazie zu berücksichti-gen und das Verständnis für Grundbegriffe und Methoden der Mathematik und Statistikzu fördern. Allerdings sollte dieses Buch nicht nur Studierende der Pharmazie anspre-chen, sondern auch Pharmazeuten, die sich bereits im Berufsalltag befinden. Zur Ver-tiefung der jeweiligen Problematik sind am Ende der einzelnen Kapitel Hinweise aufweiterführende Literatur angefügt.Übungsaufgaben sollen helfen den theoretischen Stoff auf Beispiele aus der Praxis zuübertragen. So wird auch die Notwendigkeit der Anwendung mathematischer undstatistischer Verfahren zur Lösung von pharmazeutischen Fragestellungen aufgezeigt.Wir hoffen, dass unser Vorhaben gelungen ist. AnregungenundHinweise, die uns helfen,das Lehrbuch zu überarbeiten, zu verbessern oder auch die angebotenen Gebiete zuerweitern, nehmen wir sehr gern entgegen.Für wertvolle Anregungen zur inhaltlichen Gestaltung danken wir Herrn Prof. Dr. K.Baumann.Des Weiteren bedanken wir uns bei Heidi Köppel und Simone Schröder für die Unter-stützung bei der Anfertigung einiger Abbildungen, die zusätzlich wie Isabel Astner, KatjaPenzel und Melanie Hindrichsen, das Manuskript Korrektur gelesen haben. Außerdemdanken wir Dr. Johann Grünefeld für die Unterstützung bei der Anfertigung einigerÜbungsaufgaben.Unser besonderer Dank gilt der Wissenschalichen Verlagsgesellscha, insbesondereFrau Luise Keller und Herrn Dr. Eberhard Scholz, ohne deren Unterstützung das Buch inder vorliegenden Form nicht möglich gewesen wäre.

Braunschweig, Berlin, Bonn, im Herbst 2008 Hermann WätzigWolfgang MehnertWolfgang Bühler

V

Inhaltsverzeichnis

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

Abkürzungen und Symbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X

1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Anwendung mathematischer und statistischer Methoden in der

Pharmazie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1 Allgemeine Grundlagen und elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . 42.2 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Lineare Gleichungssysteme und Matrizenrechnung. . . . . . . . . . . . . . . 362.4 Die Differentialrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.5 Die Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.6 Zufall und Wahrscheinlichkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.7 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.8 Übungsaufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3 Begriffserklärungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.1 Das Grundmodell der Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.2 Merkmal und Qualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.3 Klassifizierung von Merkmalen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.4 Toleranzen und Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.5 Die Qualitätssicherung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.6 Die Grundgesamtheit und das Los . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.7 Die Stichprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.8 Der Fehler und die Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.9 Übungsaufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4 Deskriptive Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.1 Die Mittelwerte (Lagemaße) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.2 Die Streuungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.3 Graphische Darstellungen von Häufigkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . 1114.4 Übungsaufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5 Attributive Verteilungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.1 Hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.2 Die Binomialverteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.3 Die Poisson-Verteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.4 Übungsaufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Inhaltsverzeichnis VII

6 Die Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.1 Die Wahrscheinlichkeitsdichte- und Verteilungsfunktion . . . . . . . . . 1476.2 Die Standardisierung der Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1516.3 Verteilungen von Stichprobenkenngrößen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.4 Der zentrale Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.5 Zufallsstreubereiche für Messwerte und Stichprobenkenngrößen 1596.6 Der Vertrauensbereich der Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7 Statistische Prüfverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.1 Null- und Alternativhypothese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.2 Durchführung eines statistischen Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.3 Der Fehler erster- und zweiter Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.4 Arten von Hypothesentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.5 Die einseitige und zweiseitige Fragestellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.6 Der Signifikanztest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877.7 Das Signifikanzniveau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1877.8 Der Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1887.9 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

8 Testverfahren auf Ausreißer und Normalverteilung . . . . . . 1948.1 Ausreißer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948.2 Statistische Testverfahren auf Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1978.3 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

9 Auswertung mittels statistischer Vergleiche . . . . . . . . . . . . . . 2029.1 Grundlegendes zur t-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2029.2 Der Einstichproben-t-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2039.3 Vergleich von zwei Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2059.4 Verteilungsunabhängige Verfahren (Rangsummentests) . . . . . . . . . 2149.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

10 Lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22310.1 Definition und Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22310.2 Die Regressionsrechnung – Ein Optimierungsproblem . . . . . . . . . . . 22410.3 Darstellung der Regressionsrechnung in Vektor- und Matrix-

schreibweise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23710.4 Validierung und Versuchsplanung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24010.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Lösungen der Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Mathematische und statistische Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

InhaltsverzeichnisVIII

Glossar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

Sachverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

Die Autoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

Inhaltsverzeichnis IX

Abkürzungen und Symbole

^ ein mit einem Dach gekennzeichneter Kennwert ist ein Schätzwert des jeweiligenKennwerts

α Irrtumswahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art bei Signifi-kanztests

a AktivitätAMG Gesetz über den Verkehr mit Arzneimitteln = Arzneimittelgesetz (law on the trade

in drugs = drug law)AUC Fläche unter der Kurve (area under curve)β Irrtumswahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art bei Signifi-

kanztests; 1-β heißt Schärfe des Testsβ̂ Steigung einer Geradenb Ordinatenabschnitt, Schätzgenauigkeit, systematischer Fehler, Länge,

Skalenfaktor im Wahrscheinlichkeitsnetzc KonzentrationCV relative Standardabweichungcn Konstante, die durch das Verhältnis σx– zu σx~ bestimmt istcnf Konfidenzintervallchi² (χ²) Kennzahl oder Schwellenwert der Chi²-Verteilungd Anzahl fehlerhaer Einheiten in der Grundgesamtheit oder KlassenbreiteDGQ Deutsche Gesellscha für Qualität∂ Differential, wird „d“ oder zur Unterscheidung auch „del“ ausgesprochenΔ Differenze Basiswert der natürlichen Exponentialfunktion, e = 2,71828 (Euler'sche Zahl)εi zufälliger FehlerE Ereignis, ExtinktionE(x), µ ErwartungswertE– komplementäres Ereignis zu E (Gegenereignis)f FreiheitsgradF Kennzahl oder Schwellenwert der F-Verteilungg(u) = g(u|0, 1), Wahrscheinlichkeitsfunktion der Standardnormalverteilungg(x) für diskrete Verteilungen: Wahrscheinlichkeitsfunktion g(x) = P(x),

für stetige Verteilungen: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktiong(x|N, d; n)1) = g(x), Wahrscheinlichkeitsfunktion der hypergeometrischen Verteilung mit den

Parametern N, d und ng(x|p; n) = g(x), Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit den Parametern

p und ng(x|µ) = g(x), Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poisson-Verteilung mit dem Parameter µg(x|µ, σ²) = g(x), Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Normalverteilung mit den Para-

metern µ und σ²G(x) Verteilungsfunktion allgemein mit G(x) = P(≤x), kumulierte WahrscheinlichkeitG(u) = G(u|0, 1), Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung N(0, 1)G(x|N, d; n) = G(x), auch H(N, d; n), Verteilungsfunktion der hypergeometrischen Verteilung

mit den Parametern N, d und nG(x|p; n) = G(x), kurz Bi(p; n), Verteilungsfunktion der Binomialverteilung mit den Para-

metern p und nG(x|µ) = G(x), kurz Po(µ), Verteilungsfunktion der Poisson-Verteilung mit dem Para-

meter µG(x|µ, σ²) = G(x), kurz N(µ, σ²), Verteilungsfunktion der Normalverteilung mit den Para-

metern µ und σ²hj relative Häufigkeit

Abkürzungen und SymboleX

H0 NullhypotheseH1 Alternativhypothesei imaginäre Zahl, komplexe Zahl mit reellem Anteil gleich Null, bzw. Nummerie-

rungsvariable,der Index bezeichnet die Nummer der Beobachtungseinheit (i = 1, 2, ..., n)

ICH International Conference of Harmonizationk Kennzahl, Klassenzahl, Zahl im Binomialkoeffizient, signifikante Ziffernkrit kritischer Wert im statistischen Testl Literln natürlicher Logarithmus zur Basis elg dekadischer Logarithmus zur Basis 10m Anteil der Werte einer Messreihe, Zahl der Stichproben, Faktor, Masse, Steigung

einer GeradenMmin kleinster Wert einer Messreihem Stichprobenumfangmbar Millibar (Druckangabe)ml Milliliterµ arithmetischer Mittelwert einer Grundgesamtheit,

mittlere Anzahl der Fehler je Prüfeinheit in einer Grundgesamtheit (Poisson-Verteilung)

n Stichprobenumfang, Brechungsindex, Zahl im Binomialkoeffizientn! Fakultätnj absolute Häufigkeitn* n-Stern, Ersatzparameter für sehr kleinen Fehleranteil

Binomialkoeffizient, sprich: n über k

N Umfang der GrundgesamtheitN(0, 1) Normalverteilung der standardisierten Normalverteilung mit µ = 0 und σ2 = 1N(µ, σ²) Normalverteilung mit dem Mittelwert µ und der Varianz σ2

OGW oberer Grenzwertob oben, obererOTC Over the counter, Bezeichnung für frei verkäufliche Arzneimittelπ Pi (klein), Kreiszahl, 3,1416Σ SummenzeichenΠ Pi (groß), Produktzeichenp = dN, Anteil fehlerhaer Einheiten in einer Grundgesamtheitp* p-Stern, Ersatzparameter für sehr kleinen Fehleranteilprd Vorhersageintervall (engl. prediction interval)p̂ Überschreitungsanteil, Schätzwert für p (sprich: p Dach)p(x) PolynomP WahrscheinlichkeitP(x) P(beobachteter Wert x), Wahrscheinlichkeit, in einer Stichprobe genau x fehler-

hae Einheiten/Fehler zu findenP(≤x) P(beobachteter Wert ≤x)P(x)P(E) Wahrscheinlichkeit des Eintretens von EP(E1 oder E2) Wahrscheinlichkeit des Eintretens von E1 oder E2 (Additionssatz)P(E1 und E2) Wahrscheinlichkeit des Eintretens von E1 und E2 (Multiplikationssatz)P(E1|E2) bedingte Wahrscheinlichkeit des Eintretens von E1 unter der Bedingung des

Eintretens von E2Prüf Prüfgröße im statistischen Test

Abkürzungen und Symbole XI

q 1-p; Anteil fehlerfreier Einheiten in einer GrundgesamtheitR Spannweite, RaumR reelle Zahlenδ Dichtes Standardabweichung der Stichprobe, Streckes² Varianz der StichprobeS StirlingzahlSxx bezeichnet die Summe aller (xi – x)²sdv Standardabweichungσ Sigma, Standardabweichung der Grundgesamtheitσ̂ Standardabweichung der Stichprobe (sprich: Sigma Dach)σ² Varianz der GrundgesamtheitΣ Sigma (groß), Symbol zur Kennzeichnung von Summenτ Integrationsvariablet Kennzahl oder Schwellenwert der t-VerteilungT ToleranzTab Tabellenwert einer Prüfgröße im statistischen Test (Schwellenwert)u standardisierte Zufallsvariable der Normalverteilung (0, 1)u1-α (1-α)-Quantil der Standardnormalverteilung (0, 1)un unten, untererUGW unterer GrenzwertV Volumenvar Varianzw Kennzahl oder Schwellenwert der w-Verteilung oder Klassenweitex Anzahl fehlerhaer Einheiten mit hypergeometrischer- oder Binomialverteilung,

Anzahl der Fehler je Einheiten mit Poisson-Verteilung oder Messwert,Realisierung der Zufallsvariablen X

xD Modalwertxi i-ter Einzelwert in chronologischer Reihenfolgex arithmetischer Mittelwert der Stichprobe (sprich: x quer)xG geometrisches Mittel der Einzelwerte einer MessreihexH harmonisches Mittel der Einzelwerte einer Messreihex arithmetisches Mittel einer Reihe von Mittelwerten (sprich: x quer quer)x~ Median (sprich: x Tilde)X ZufallsvariableZi Zahl interessierender EreignisseΣZ Zahl aller möglichen Ereignisse⇒ daraus folgt→ Verweis auf Abb., Beispiel, Formel, Kapitel oder Tabelle oder Aufzählung≈ nahezu gleich, etwa, rund

1) N und d beziehen sich auf die Grundgesamtheit und sind deshalb durch Semikolon von derStichprobe getrennt (sinngemäß auch die folgenden Symbole)

Abkürzungen und SymboleXII

1EinleitungINHALTSVORSCHAUDieser Teil soll Ihnen kurz die geschichtlichen Entwicklungen statistischer Methoden auf-

zeigen. Es werden die Intension der Autoren zur Erstellung dieses Buches dargelegt, Hin-

weise zur Klausurvorbereitung gegeben, sowie einige wichtige Internet-Adressen genannt.

1.1Anwendung mathematischer und statistischerMethoden in der Pharmazie

Im Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeitstheorien wurden Probleme der Wahr-scheinlichkeit erstmals systematisch im 17. und 18. Jahrhundert untersucht; sietauchten vor allem im Zusammenhang mit Glücksspielen auf. Etliche bedeutendeeuropäische Mathematiker beschäigten sich mit dem Problem der Wahrschein-lichkeit.Mitte des 17. Jahrhunderts setzten sich bedeutende Forscher, wie Fermat(1601–1665), Pascal (1623–1662) und Bernoulli (1654–1705) mit Begriffen wieZufallserscheinung, Wahrscheinlichkeit und Ereignis auseinander. Die hierausgewonnenen Erkenntnisse wurden dann im Laufe der Zeit auch auf andereBereiche, wie z. B. der Physik oder der Gesellscha übertragen. An dieser Weiter-entwicklung waren dann u. a. Wissenschaler wie Moivre (1667–1754), Laplace(1749–1827), Gauß (1777–1855) und Poisson (1781–1840) beteiligt.So findet denn auch in den verschiedensten Bereichen unserer heutigen Gesell-scha der Umgang mit der Statistik statt. Eine stets wachsende Komplexität derZusammenhänge und Abläufe (z. B. pharmazeutische Fertigungsprozesse, chemi-sche Synthesen, Geschäsabläufe, Marktentwicklungen, Medizin, etc.) machen esnotwendig, durch statistische Methoden Informationen zu gewinnen und zu ver-arbeiten.Der Philosoph Elton Trueblood (1900 – 1994), sagte: „Die Tatsache, dass wir keineabsolute Gewissheit im Hinblick auf irgendwelche menschlichen Schlussfolgerungenhaben, bedeutet nicht, dass alles Forschen letztlich doch eine fruchtlose Bemühungwäre. Es stimmt, wir müssen stets auf dem Boden der Wahrscheinlichkeit voran-gehen, aber wo es Wahrscheinlichkeit gibt, da gibt es die Möglichkeit zum Fort-schritt. Was wir in jedem Bereich menschlichen Denkens suchen, ist nicht dieabsolute Gewissheit, denn die bleibt uns als Menschen verborgen, sondern eherder bescheidenere Pfad jener, die verlässliche Möglichkeiten zur Unterscheidungverschiedener Grade der Wahrscheinlichkeit finden.“Dazu düre die folgende Weisheit Albert Einsteins (1879–1955, Deutscher Phy-siker), immer noch Gültigkeit besitzen: „Was sich auf die Wirklichkeit bezieht, istnicht sicher, und was sicher ist, ist nicht wirklich“Die folgende Begriffsbestimmung der Statistik von Abraham Wald (1902 – 1950,Rumänischer Mathematiker) düre daher die Zutreffendste sein: „Statistik ist eineZusammenfassung von Methoden, die uns erlauben, vernünige Entscheidungen imFall der Ungewissheit zu treffen“ Diese Begriffsbestimmung sollte nicht so ver-standen werden, um damit die Statistik als Hilfsmittel verfeinerter Lügen und

Theorien zur Wahr-scheinlichkeitsrech-nung

Anwendung der Sta-tistik in allen Wirt-schaftsbereichen

damit zum Zweck der bewussten Manipulation zu benutzen. Die Statistik hil beiallen zufälligen Ereignissen, komplexen Abläufen und auf allen erdenkbaren Ge-bieten, auf denen nicht erfassbare Einflüsse aureten können.Deshalb kann Statistik u. a. wie folgt definiert werden: „Statistik ist die Entwick-lung und Anwendung von Methoden zur datenmäßigen Erhebung, Auereitung,Analyse und Interpretation von Massenerscheinungen.“ Statistik kann fachlichenSachverstand unterstützen, nicht aber ersetzen.Die Statistik ist somit ein mathematisches Instrument, welches weder Fachwissenersetzen kann, noch Ansatzfehler beim unmethodischen oder fehlerhaen Vor-gehen ausgleichen kann.Wer sich mit Statistik beschäigt, der sollte nie ohne fachlichen Hintergrund, d. h.nie ohne Zusammenarbeit mit wenigstens einem weiteren Fachmann seine statis-tischen Analysen auauen. Statistische Tests können fachlichen Sachverstand nurunterstützen, aber nicht ersetzen!Wie bei allen Prozessen finden statistische Methoden auch in der pharmazeuti-schen Industrie, sowie deren Umfeld Anwendung. Über die pharmazeutischeEntwicklung eines Arzneimittels, der klinischen Prüfung, der Produktion, derPrüfung in der Freigabe, der Zulassung eines Arzneimittels und vielen, vielenanderen Bereichen.So ist z. B. auch das Arzneibuch als ein Teil eines Qualitätssicherungssystems(®Kap. 3.2) zu verstehen. Es enthält allgemeine Angaben zu Prüfverfahren, sowiein den Monographien Qualitätsanforderungen für Arzneistoffe, Hilfsstoffe undZubereitungen einschließlich verbindlicher Prüfmethoden. Die Qualitätssicherungdient somit der Einhaltung einer festgelegten und definierten Qualität.Mit diesem Buch wollen wir Sie mit den mathematischen und statistischen Grund-lagen vertraut machen und in die Methoden der Statistik einführen. Die Ausfüh-rungen sollen Ihnen helfen, einerseits Dokumente zur Statistik zu verstehen und zubeurteilen, ggf. selbst beim Auau eines betrieblichen Qualitätssicherungssystemsdie passenden statistischen Methoden sicher auszuwählen, aber auch eine Unter-stützung zur Klausurvorbereitung (® Kap. 7.1) bieten.Ein einführendes Lehrbuch kann einen guten Einstieg und einen Überblick überdie Materie bieten, es kann aber nicht die gesamte Materie abbilden. Um Ihnenweiterführende Hinweise zur Literatur und zu Normen zu geben, haben wir nachjedem Hauptkapitel eine kleine Literatursammlung angegeben. Normen, Nomo-gramme und Auswerteblättern können Sie sich beim Beuth Verlag (DeutschesInstitut für Normung, DIN) in Berlin bzw. Köln (www.din.de) oder bei derDeutschen Gesellscha für Qualität (DGQ) in Frankfurt/Main (www.dgq.de)käuflich erwerben. Viele Bibliotheken haben die Normen auch in ihrem Literatur-angebot.Für statistische Berechnungen können Sie ein kostenloses Statistikprogramm vonder Internetseite der FU-Berlin herunterladen (www.statistiklabor.de).Die Übungsaufgaben wurden von uns teilweise so gestaltet, dass sie sich denAufgabentypen dem Institut für medizinische und pharmazeutische Prüfungs-fragen, dem IMPP (www.impp.de) anlehnen. So sind einige der ÜbungsaufgabenPrüfungsabschnitten entnommen, einige wurde von uns entsprechend verändert,andere wiederum wurden neu gestaltet und passen im Auau auch nicht zumIMPP. Diese Aufgaben sollen Ihnen eine individuelle Hilfe zur Klausurvorberei-tung bieten. Zu den jeweiligen Lösungen finden Sie dann meist auch eine kurzeErläuterung, sowie einen Verweis auf das entsprechende Kapitel.

1.1 Anwendung mathematischer und statistischer Methoden in der Pharmazie2

Das Arzneibuch istTeil eines Qualitäts-sicherungssystems.

Klausurvorbereitung

Internet-Adressen

Wir denken, Sie werden das nötige Rüstzeug bekommen, um Klausuren erfolgreichzu bearbeiten. Darüber hinaus verfügen Sie dann auch über Anwendungswissen,dass es Ihnen gestattet, durch gezielte Datenerhebung und Analyse eine Problema-tik sachgerecht anzugehen und zu lösen. So, und nun viel Spaß beim Lernen!

1.1 Anwendung mathematischer und statistischer Methoden in der Pharmazie 3

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