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25. Oktober 2005 Schwach dissipative Timoshenko Systeme mit second sound Globale Existenz und exponentielle Stabilität Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Lehrstuhl Prof. Dr. R. Racke Diplomand: Michael Pokojovy Betreuer: Prof. Dr. Reinhard Racke

Altana vortrag

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  • 1. 25. Oktober 2005 Schwach dissipative Timoshenko Systeme mit second sound Globale Existenz und exponentielle Stabilitt Universitt Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Lehrstuhl Prof. Dr. R. Racke Diplomand: Michael Pokojovy Betreuer: Prof. Dr. Reinhard Racke

2. Timoshenkos Balkentheorie Stephan Timoshenko (1878-1972) Balken sind im allgemeinen mehrdimensionale Festkrper. Die Balkentheorien beschftigen sich mit gewissen Approximationen, welche das elastische Verhalten von Festkrpern aufgrund ihrer Lngscharakteristiken beschreiben. 3. Beispiel Beispiel: Eine Brcke kann als Balken betrachtet werden, indem man die Querschwingungen vernachlssigt. 4. Schwingende Saite Als das einfachste Beispiel eines Balkens (sowie eines elastischen Krpers) kann eine schwingende Saite dienen: 5. Schwingende Saite Die Schwingungen werden durch die hyperbolische Differentialgleichung 0),,0(,0 ),(),( 2 2 2 2 = = tLx x xtu t xtu uu xxtt beschrieben. Diese Gleichung heit Wellengleichung. Man definiert die Energie der Lsung der Wellengleichung: ( ) += L xt dxxtuxtutE 0 22 ),(),( 2 1 )( Die Energie bleibt erhalten, d.h. constEtE == )0()( kinetische Energie potentielle Energie 6. Kopplung mit Wrmeleitung Die elastischen Schwingungen eines Krpers sind mit dem Wrmefluss eng verbunden. Bei der reinen Wellengleichung ist dieser Zusammenhang aber nicht bercksichtigt. Um die physikalischen Phnomene adquater zu beschreiben, bentigt man kompliziertere mathematische Modelle. Ergo: 7. Wrmeleitung 8. Wrmeleitung Die Wrmeleitung lsst sich durch die parabolische Differentialgleichung 0),,0(,0 ),(),( 2 2 = = tLx x xtu t xtu uu xxt beschreiben. Diese Gleichung heit Wrmeleitungsgleichung. Man definiert die Energie der Lsung der Wrmeleitungsgleichung: = L dxxtutE 0 2 ),( 2 1 )( Die Energie fllt exponentiell ab, d.h. )0,()0()( 2 > cecEtE t Wrmeenergie 9. Exponentielle Stabilitt t )(tE Die Energie der Lsung der Wrmeleitungsgleichung klingt exponentiell ab. Diese Eigenschaft heit exponentielle Stabilitt. 10. Mathematische Balkentheorie Die von Timoshenko vorgeschlagene Balkentheorie ist die Verallgemeinerung der klassichen mechanischen Balkentheorie von Euler und Bernoulli. Ihre mathematische Formulierung ergibt ein System partieller Differentialgleichungen. Im R1 hat das Timoshenko System die Gestalt: ( ) 0 0 0),( 3 2 1 =+ =+++ = txxxt xxxxtt xxtt kb (Zuzglich Anfangs- und Randbedingungen) 11. Energie des Timoshenko Systems ( ) +++++= L xxtt dxxtkbtE 0 2 3 222 2 2 1 ),( 2 1 )( Energie exponentielle obere Schranke 12. Klassisches Timoshenko System Es wurde fr Timoshenko Systeme schon gezeigt: 1) Existenz einer eindeutigen globalen Lsung 2) Exponentielle Stabilitt wegen Dissipation (Dmpfung durch Wrme) unter der Voraussetzung: kb 21 = 13. Fourier vs. Cattaneo Gesetz Die klassischen Wrmeleitungsmodelle (Fourier Gesetz) 0= xxt modellieren unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit. Dieses physikalische Paradoxon wird fr einige Situtationen behoben durch ein hyperbolisches Cattaneo Gesetz: )(0 kleinxxttt =+ 14. Diplomarbeitsziel Meine Aufgabe ist es, die exponentielle Stabilitt und globale Lsbarkeit des nichtlinearen Timoshenko Systems mit second sound (Cattaneo Gesetz) zu untersuchen. 15. Anwendung Reinigung von Chips mithilfe von Lasern Konstruktion von Brcken bei groen Temperaturschwankungen 16. Vielen Dank fr Ihre Aufmerksamkeit!