Geometrie – Inklusionsmaterial 4 - Persen · Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als

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GeometrieInklusionsmaterial

Grundwissen Mathematik inklusiv

C. Spellner · C. Henning · M. Körner

Geometrie – Inklusionsmaterial 4Konstruieren von Figuren

Downloadauszug aus dem Originaltitel:

Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im eigenen Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen schulweiten Einsatz und Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte (einschließlich, aber nicht beschränkt auf Kollegen), für die Veröffentlichung im Internet oder in (Schul-)Intranets oder einen weiteren kommerziellen Gebrauch.

Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Verstöße gegen diese Lizenzbedingungen werden strafrechtlich verfolgt. h verf

1C. Spellner / C. Henning / M. Körner: Geometrie – Inklusionsmaterial 4© Persen Verlag

1. Vorwort

Der Unterrichtsstoff muss neben den Haupt- und Realschülern auch lernschwächeren Schülern1 – und im Zuge der Inklusion ver-mehrt Schülern mit sonderpädagogischem Förderbedarf – nachhaltig vermittelt werden. Der vorliegende Band bietet Ihnen entspre-chende Kopiervorlagen. In ihm sind Aufgaben sowohl für Regelschüler, als auch für Schüler mit sonderpädagogischem Förderbedarf zu-sammengefasst und bieten somit eine ideale Grundlage für Ihren inklusiven Mathematikun-terricht. Machen Sie von den veränderbaren Word-Dateien auf CD Gebrauch, um den indi-viduellen Leistungsstand Ihrer Schüler be-rücksichtigen zu können. Die Arbeitsblätter für

1 Wir sprechen hier wegen der besseren Lesbarkeit von Schülern bzw. Lehrern in der verallgemeinernden Form. Selbstverständlich sind auch alle Schülerinnen und Lehre-rinnen gemeint.

Schüler mit sonderpädagogischem Förderbe-darf haben einen grauen Seitenrand. Die Ar-beitsblätter ohne grauen Seitenrand stammen aus dem Muttertitel „Grundwissen Ebene Geometrie“ und enthalten inhaltsgleiche, aber zieldifferente Aufgaben als Basis für die Re-gelschüler, bzw. als Erweiterung für die schnellen lernschwächeren Schüler.Viele Inhalte für die lernschwächeren Schüler mit sonderpädagogischem Förderbedarf sind weniger abstrakt und anschaulicher darge-stellt. Sie benötigen oft das handlungsorien-tiertere Arbeiten und das Wiederholen thema-tisch grundlegender Rechenschritte, um die Inhalte regelrecht begreifen zu können.

2. Methodisch-didaktische Hinweise

2.1 Stolpersteine der Geometrie

Schon in der Grundschule erarbeiten sich die Schüler den Begriff „Figur“, indem sie ganz-heitlich wahrnehmen und auf vielfältige Weise untersuchen. Meist wird hier auch schon mit ersten Abbildungen gearbeitet. Aber auch der Umgang mit den Figuren wird gefördert. Natürlich wird auch betont, dass die Figuren in der Mathematik idealtypische Formen sind, die in der Umwelt und im Alltag nur annährend den idealtypischen Charakter aufzeigen.So kann man eine komplexe Figur zum Bei-spiel in verschiedene Dreiecke und Vierecke zerlegen, um eine Annährung an die geomet-rische Figur zu erlangen. Manche Figuren im Alltag haben aber auch abgerundete Ecken, sodass hier die typische Charakteristik der Ecke verlorengeht und mathematisch nicht mehr korrekt ist.

Die Problemfelder innerhalb der ebenen Geo-metrie gehen mit den Bereichen Räumliches Vorstellungsvermögen und Visuelle Wahr-nehmung einher, auf denen die visomotori-sche Koordination aufbaut. Im Folgenden werden die Bereiche daher kurz erläutert. Die Erläuterungen lassen zugleich die Schwierig-keiten abschätzen, mit denen gerechnet wer-den muss. Gegebenenfalls müssen Sie auf Grundschulmaterialien zurückgreifen, um die entsprechenden Einsichten, die beschrieben werden, aufzubauen.

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Die visuelle Wahrnehmung ist die Grundvor-aussetzung für ein räumliches Vorstellungs-vermögen. Wahrnehmen stellt einen aktiven Prozess dar. Das Wahrnehmen geht über das bloße Sehen hinaus, denn es ist eng mit dem Gedächtnis und den damit gespeicherten Er-fahrungen verbunden. Aber auch die Art des Denkens und des Vorstellens spielt hierbei eine große Rolle. Wahrnehmen ist ferner auch Sprache. Beim Sehen werden zunächst nur Gegenstände gesehen. Das Wahrnehmen er-fasst Merkmale von Objekten, identifiziert ein Objekt, setzt es in Beziehungen zu der Um-welt, vergleicht verschiedene Objekte mitein-ander, um es dann mit einem Namen zu bele-gen. Allerdings muss hierzu auch ein visuelles Gedächtnis vorhanden sein. In ihm werden charakteristische Merkmale eines nicht mehr präsenten Objektes gespeichert. Diese Merk-male können dann mit dem visuellen Ge-dächtnis auf andere präsente Objekte über-tragen werden.Zur visuellen Wahrnehmung zählt u. a. die Fi-gur-Grund-Wahrnehmung. Das heißt, die Schüler müssen in der Lage sein, aus einem komplexen Bild Teilfiguren zu erkennen und Hintergrund von Gesamtfigur zu unterschei-den. Ebenso fällt in diesen Bereich die Wahr-nehmungskonstanz. Das heißt, dass die Schü-ler Objekte in verschiedenen Größen, räumli-chen Lagen und Farben unterscheiden können (räumliche Konstanz). Hierzu muss visuell unterschieden werden. Das heißt, es handelt sich hier um die Fähigkeit, Ähnlichkeiten und Unterschiede zu erkennen und zu benennen. Weiterhin müssen die Schüler in der Lage sein, räumliche Beziehungen in Bezug auf den eige-nen Körper wahrzunehmen und einzuordnen (Räumliche Wahrnehmung). Zum anderen müssen sie räumliche Gruppierungen von Ob-jekten und deren Beziehung untereinander er-fassen und auch beschreiben können (Räum-liche Beziehungen). Ebenso muss die Wahr-

nehmung der Raumlage eines Objektes er-folgen. Hierbei müssen die Schüler in der Lage sein, die Raumlage eines Objektes zu einem Bezugsobjekt (z. B. eigene Person) zu erken-nen und zu beschreiben. Auch die Visualisierung kann einen Stolper-stein darstellen. Das bedeutet, dass die räum-lichen Bewegungen (z. B. Verschiebungen, Drehungen) ohne Anschauungshilfen auf ge-danklicher Vorstellungsebene erfolgen müs-sen (räumliches Vorstellungsvermögen).Schwieriger wird es, wenn die eigene Person in einer räumlichen Situation verortet werden soll (Räumliche Orientierung). Ebenso schwie rig ist die Vorstellung von Rotationen. Dabei muss beachtet werden, dass sich die Schüler eine exakte Rotation von ebenen und dreidimensionalen Objekten vorstellen kön-nen müssen.Unter visomotorischer Koordination ver-steht man die Fähigkeit, dass das Sehen mit dem eigenen Körper sinnvoll in Verbindung gebracht wird, sodass eine adäquate Koordi-nation und eine daraus resultierende Hand-lung erfolgen kann. Diese ist notwendig, wenn man z. B. etwas ausschneiden oder nachzeich-nen möchte. Neben den Schwierigkeiten, die die Schüler im Bereich der visuellen Wahrneh-mung und dem räumlichen Vorstellungsver-mögen haben können, können die Schüler auch motorische Schwierigkeiten haben, sodass ihnen das Zeichen und Messen nur mühsam gelingt und ihre Arbeiten in diesem Bereich sehr ungenau sind.

2.2 KompetenzerwartungenDie Kompetenzerwartungen können in die Be-reiche Erfassen, Konstruieren, Messen und Anwenden unterteilt werden. Die nachfolgen-de Tabelle gibt einen Überblick über die Kom-petenzerwartungen in den genannten Berei-chen.

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Bereich Kompetenzerwartungen

Erfassen verwenden von Fachbegriffen (z. B. Gerade, Strecke, Winkel, Abstand, Radi-us, parallel, senkrecht, symmetrisch)Beschreiben von ebenen und räumlichen Figuren Benennen von Objekten (z. B. Rechteck, Quadrat, Kreis, Quader, Würfel, Zy-linder)Identifizieren von Objekten in der Umwelt Charakterisieren von Objekten (z. B. rechtwinklig, gleichschenklig, gleichsei-tig)

Konstruieren Muster (im Koordinatensystem) zeichnenzeichnen grundlegender Beziehungen (z. B. Parallele, Senkrechte, Winkel)zeichnen von Figuren (z. B. Rechtecke, Quadrate, Kreise) Schrägbilder skizzieren Körpernetze zeichnen und Körper daraus bauen Zeichnen von Figuren nach Angaben (z. B. nach Seiten und Winkeln)Figuren maßstabsgetreu vergrößern und verkleinern Figuren spiegeln, drehen und verschieben

Messen Schätzen von Längen, besonderen Winkeln, Umfängen, (Ober-) Flächenin-halten und Volumina Bestimmen von Längen, besonderen Winkeln, Umfängen, (Ober-) Flächen-inhalten und Volumina

Anwenden erfassen und benennen von Eigenschaften von Objektenbegründen von Eigenschaften mit Hilfe von Symmetrien, Winkelsätzen und Kongruenzen sowie mithilfe des Satzes des Pythagoras/Thalesberechnen geometrischer Größen mithilfe des Satzes des Pythagoras/Tha-les und Ähnlichkeitsbeziehungen berechnen geometrischer Größen mit Hilfe von Sinus, Kosinus und Tangens

2.3 Anregung zum Einstieg in das Thema Geometrie

Für einen Einstieg in das Thema bieten sich Bastel- und Faltübungen als aktive Handlung besonders gut an. Denn sie regen die Fanta-sie der Schüler an und sind in ihrer Aufgaben-stellung für die meisten Schüler sehr anspre-chend.

Allerdings muss hier beachtet werden, dass diese Übungen zu Fehlvorstellungen beitra-gen können. So muss man bedenken, dass das Herstellen eines Würfels aus einem Würfelnetz eigent-lich aus der Ebene erfolgt, dann aber ein drei-dimensionales Objekt ist. Ferner wird niemals

so genau gefaltet, dass zwingend ein exakter rechter Winkel entsteht. Manche Schüler sind motorisch geschickter als andere, sodass durchaus „schiefe“ Objekte entstehen. Glei-ches gilt beim Falten. Wenn eine Parallele oder Senkrechte gefaltet wird, kann das durch-aus ungenau sein.Im Bereich der Kongruenzabbildungen legt man gern zwei Figuren, die man auf dem Pa-pier gezeichnet und anschließend ausge-schnitten hat, übereinander. So werden aber zwei Ebenen benutzt, obwohl eigentlich nur eine Ebene betrachtet wird.

Dennoch haben Bastel- und Faltübungen ei-nen unheimlich großen Aufforderungscharak-ter, was für die Schüler sehr motivierend ist.

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Denn sie können hier nicht nur selbst aktiv werden, sondern die entstehenden Objekte ih-ren Vorstellungen entsprechend mitgestalten (z. B. ausmalen). Außerdem gibt es den Schü-lern etwas in die Hand, wodurch bestimmte Merkmale besonders deutlich und zugänglich gemacht werden können.

Je nach Thema gibt es verschiedene Aufga-ben, die man mit auf den Weg geben kann.

Beispiele:Figuren benennen und zuordnen: Zeichnen und Ausschneiden, anschließend in der Um-welt findenSenkrechte und Parallelen: mithilfe eines Blattes falten und ausmalenKongruenzen: Figuren zeichnen, ausschnei-den und übereinanderlegenInnenwinkelsumme von Dreiecken/Vierecken: „Konstruiere ein Dreieck/Viereck. Reiße die Ecken ab und lege sie zusammen. Welche Winkelsumme entsteht?“Umfang: Figur mit einem Seil umlegenFlächeninhalt: bekannte Figuren in Figuren einzeichnen/Figur zerschneiden und zu einer bekannten Figur zusammenlegen

2.4 Durch Kooperation Inklusion ermöglichen

Im Sinne der Inklusion ist es wichtig, dass Sie neben individueller Förderung um kooperative Lernformen bemüht sind. Die nachfolgend aufgeführten Beispiele zeigen deutlich, dass hier nicht in Einzelarbeit strikt nach Leistungs-stand gearbeitet wird, sondern die Schüler sich die einzelnen Themen in der Klassenge-meinschaft gemeinsam arbeiten. Im Laufe der Erarbeitung und Bearbeitung des Themas bie-ten sich verschiedene kooperative Lernme-thoden an. Hier werden exemplarisch einige aufgeführt.

1. Lernpartner/LerngruppenIn Lerngruppen arbeiten die Schüler zwar indi-viduell, aber doch gemeinsam an einem The-ma und nutzen dafür die Stärken und Vorteile

einer Gruppe. Die Gruppen können entweder leistungsheterogen oder weitestgehend leis-tungshomogen zusammengestellt sein. Bei leistungsheterogenen Gruppen sollten Sie un-bedingt darauf achten, dass die Schüler unter-einander klare Rollen haben – ein leistungs-starker Schüler unterstützt z. B. einen leis-tungsschwächeren Schüler, welcher wieder-um einem ebenfalls leistungsschwächeren Schüler erläutert, was er soeben mit seinem Mitschüler gelernt hat. In leistungshomoge-nen Gruppen kann das Gruppenwissen gefes-tigt und nachhaltig trainiert werden. Richten Sie die Gruppenzusammensetzungen also nach Ihren Unterrichts- und den individuellen Lernzielen der Schüler aus.

2. Selbstkontrolle/gegenseitige KontrolleDie eigenständige Kontrolle von Lernergeb-nissen fördert die Selbstständigkeit der Schü-ler. Lernschwächere Schüler trauen sich zu-dem mehr zu, da sie mögliche falsche Lösun-gen nicht der ganzen Klasse, sondern nur sich selbst preisgeben müssen und die richtige Lösung in individuellem Tempo nachvollzie-hen und ggf. nachrechnen können.

3. Stationenlauf mit und ohne PartnerBei dem Stationenlauf arbeiten die Schüler überwiegend selbstständig und eigenverant-wortlich an Stationen. Selbstständig bzw. ei-genverantwortlich bedeutet hier, dass der Ler-nende die Organisation seines Lernprozesses zunehmend eigenständiger mitgestaltet. Dies ist aber u. a. nur dann möglich, wenn die Schü-ler wissen, wie sie sich Informationen beschaf-fen, diese aufbereiten und Arbeitsergebnisse selbstständig überprüfen können, d. h. wenn sie selbstständig arbeiten/lernen können. Zwar können die Schüler noch nicht das The-ma mitbestimmen und -organisieren, aber die Reihenfolge, die Sozialform sowie die Arbeits-platzgestaltung müssen sie selbst wählen. Es ist auch damit zu rechnen, dass sich die Schü-ler an einen großen Gruppentisch stellen und an diesem arbeiten sowie dort die Materialien lagern. Außerdem sind neben der Gruppen-

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ebenfalls die Partner- und Einzelarbeit mög-lich. Auch die Selbst kontrolle (an einer Lö-sungsstation) führt immer mehr zu einem ei-genverantwortlichen und auch kooperativem Lernen. Wichtig bei dieser Arbeitsform ist es, die ver-schiedenen Aufgabenstationen gestalterisch voneinander abzugrenzen, sodass die Zuord-nung erleichtert wird. Um für die Schüler eine Übersichtlichkeit bezogen auf bereits erledig-te Aufgaben herzustellen, sollten sie einen Laufzettel erhalten.Ferner sollten bestimmte Regeln gelten, um erfolgreich an den Stationen zu lernen. Bei-spiele: 1. Du schummelst nicht und schreibst nicht von anderen ab. / 2. Lass dir bei den Auf-gaben so viel Zeit, wie du brauchst. / 3. Die Reihenfolge der bearbeiteten Aufgaben ist dir überlassen. / 4. Überlege dir, ob du alleine, mit einem Partner oder in der Gruppe arbeiten möchtest. / 5. Kontrolliere erledigte Aufgaben mit Hilfe der Lösungsstation. / 6. Frage den Lehrer nur dann um Hilfe, wenn dir deine Mit-schüler nicht helfen können.Die Lehrkraft kann bei dieser Arbeitsform die meiste Zeit im Hintergrund verbringen, jedoch für die Schüler jederzeit erreichbar sein, so-dass diese so frei wie möglich arbeiten kön-nen und die Möglichkeit haben, sich beim Ler-nen gegenseitig zu unterstützen bzw. zu hel-fen. Auch der Lehrkraft bietet die Stationenar-beit die Möglichkeit, gezielter zu helfen als in einer Frontalsituation. Die Stationenarbeit er-fordert auch vom Lehrer ein völlig anderes Verhalten: er muss anregen statt vorgeben sowie beraten statt bestimmen. Der Lehrer ist in der Rolle des Beraters zu sehen.

4. WochenplanarbeitAuch die Wochenplanarbeit bietet sich im Rahmen des eigenverantwortlichen und ko-operativen Lernens an. Dies ist ebenfalls eine Form der Freiarbeit, bei der der Lernende die Organisation seines Lernprozesses zuneh-mend eigenständiger mitgestaltet. Auch hier müssen die Schüler wissen, wie sie sich Infor-mationen beschaffen, diese aufbereiten und

Arbeitsergebnisse selbstständig überprüfen können. Im Unterschied zur Stationenarbeit werden die Arbeitsaufträge nicht für alle Schü-ler ausgelegt, sondern jeder Schüler erhält ei-nen individuellen Arbeitsplan bzw. eine Ar-beitsmappe. Da sich die Aufgaben oft glei-chen, können die Schüler hier auch wieder gemeinsam arbeiten oder sich gegenseitig unterstützen. Letzteres ist auch immer dann möglich, wenn nicht die gleichen Aufgaben bearbeitet werden, denn hierfür ist die Form der Freiarbeit geradezu prädestiniert.

2.5 Erläuterung der Kopiervorlagen

Die Arbeitsmaterialien, bei denen der rechte Seitenrand grau unterlegt ist und die Aufga-bennummern mit einem schwarzen Dreieck hinterlegt sind, sind soweit aufbereitet, dass lernschwächere Schüler gut mit ihnen arbei-ten können. Wenn Ihre Schüler die Arbeitsma-terialien gut bearbeitet haben und die Inhalte/Kompetenzen sicher beherrschen, ist es selbstverständlich möglich, ihnen die Arbeits-materialien für die Schüler ohne sonderpäda-gogischen Förderbedarf zur Vertiefung und Erweiterung anzubieten. Nutzen Sie hier im-mer entsprechend die Arbeitsblätter ohne grauen Seitenrand, die die gleiche Überschrift tragen bzw. das gleiche Thema behandeln.

Für leistungsstarke Schüler verwenden Sie die Arbeitsblätter ohne grauen Seitenrand.

Bedeutung der Aufgabennummerierung

1 Aufgaben aus dem Anforderungsbereich I, Reproduzieren

@ Aufgaben aus dem Anforderungsbereich II, Zusammenhänge herstellen

# Aufgaben aus dem Anforderungsbereich III, Verallgemeinern und Reflektieren

� Aufgaben für lernschwache Schüler, Schü-ler mit sonderpädagogischem Förderbedarf

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� Konstruiere bei allen drei Dreiecken die Seitenhalbierenden. Überprüfe, ob folgender Satz auf deine Konstruktion zutrifft:

Bei stumpfwinkligen, spitzwinkligen und rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die Seitenhalbierenden immer innerhalb des Dreiecks.

A

✕

B

C

✕✕ A B

C

✕ ✕

✕

A B

C

✕

✕

✕

•

� Zeichne ein beliebiges Dreieck. Konstruiere den Schwerpunkt.

Seitenhalbierende in Dreiecken

1. Wähle eine Seite (im Beispiel c). Du gehst so vor, als wenn du eine Mittelsenkrechte auf eine Strecke konstruieren möchtest.

2. Du zeichnest aber nur den Schnittpunkt auf der Seite des Dreiecks ein.

3. Verbinde den Schnittpunkt mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks.

4.–5. Wiederhole 1.–3. mit der nächsten Dreieckseite (hier Seite a).

6.–7. Wiederhole 1.–3. mit der dritten Dreieckseite (hier Seite b).

8. Die Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt. Den Schnittpunkt der Seiten-halbierenden nennt man auch Schwerpunkt (S) des Dreiecks.

A B

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A B

C2.

A B

C3.

A B

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A B

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Seitenhalbierende in Dreiecken

Info Als Seitenhalbierende in Dreiecken werden die Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit den gegenüberliegenden Seitenmitten bezeichnet.

! a) Konstruiere jeweils die Seitenhalbierenden der Dreiecke.

b) Was stellst du fest?

Bei stumpfwinkligen Dreiecken

Bei spitzwinkligen Dreiecken

Bei rechtwinkligen Dreiecken

2 a) Zeichne die gegebenen Dreiecke in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm) in dein Heft.

b) Konstruiere jeweils die Seitenhalbierenden und gib (näherungsweise) die Koordinate des Schnittpunktes S der Seitenhalbierenden an.

(1) A(7 | 3) B(8 | 6) C(2 | 3) S(___ | ___)

(2) A(–3 | 2) B(–3 | –2) C(3 | –2) S(___ | ___)

(3) A(–2 | 6) B(–6 | 6) C(–4 | –2,5) S(___ | ___)

3 Den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden bezeichnet man als Schwerpunkt des Dreiecks. Konstruiere jeweils die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Konstruiere dann den Schwerpunkt und gib die Länge der Seitenhalbierenden an.

a) a = 3 cm b = 4 cm g = 90° sa = _____ sb = _____ sc = _____

b) a = 5,2 cm b = 7,6 cm c = 6,4 cm sa = _____ sb = _____ sc = _____

c) a = 5,2 cm b = 28° g = 117° sa = _____ sb = _____ sc = _____

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B

C

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C

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� Ergänze sinnvoll.

gegenüberliegenden – kongruent – SWW – einer – Seitenlängen – Winkelgröße – WSW – SSW

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in drei _________________ übereinstimmen

(SSS).

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und der von den Seiten

eingeschlossenen _________________ übereinstimmen (SWS).

Zwei Dreiecke sind _________________, wenn sie in einer Seitenlänge und beiden der

Seite anliegenden Winkelgrößen übereinstimmen (_____).

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in _________________ Seitenlänge und zwei

weiteren Winkelgrößen übereinstimmen (_____).

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und der der größeren Seite

_________________ Winkelgröße übereinstimmen (_____).

� a) Beschreibe, was ein Umkreis ist.

b) Konstruiere ein beliebiges Dreieck und den dazugehörigen Umkreis.

c) Was kannst du über den Mittelpunkt eines Umkreises sagen?

� a) Beschreibe, was ein Inkreis ist.

b) Konstruiere ein beliebiges Dreieck und den dazugehörigen Inkreis.

c) Was kannst du über den Mittelpunkt eines Inkreises sagen?

� a) Beschreibe, was ein Schwerpunkt ist.

b) Konstruiere ein beliebiges Dreieck und den dazugehörigen Schwerpunkt.

c) Was kannst du über den Schnittpunkt von Seitenhalbierenden sagen?

� a) Konstruiere ein beliebiges Dreieck und die drei Höhen.

b) Was kannst du über den Schnittpunkt der Höhen sagen?

Vermischte Übungen zu besonderen Linien

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Vermischte Übungen zu besonderen Linien

1 Zeichne jeweils eine Gerade durch den Schnittpunkt der beiden besonderen Dreieckslinien und des freien Eckpunktes und untersuche die Eigenschaft dieser Geraden. Was stellst du fest?

2 Konstruiere den Umkreis des Dreiecks mit a = 40°, b= 5,1 cm und g = 100° und gib den Umkreisradius an. Benutze möglichst wenige Konstruktionsschritte.

3 Konstruiere den Inkreis des Dreiecks mit b = 6,3 cm, a = 81° und c = 4,7 cm und gib den Inkreisradius an. Benutze möglichst wenige Konstruktionsschritte.

4 Konstruiere den Schwerpunkt des Dreiecks mit b = 60°, a = 3,9 cm und g 60°. Benutze möglichst wenige Konstruktionsschritte.

5 Konstruiere den Höhenschnittpunkt des Dreiecks b = 4,5 cm, a = 38° und c = 4,5 cm. Benutze möglichst wenige Konstruktionsschritte.

^ Sascha möchte sich aus einem Brett (Maße siehe Skizze) eine möglichst große runde Scheibe ausschneiden. Welchen Durchmesser hat die Scheibe?

& Die Städte Echzell, Hungen und Wölfersheim planen den Bau eines gemeinsamen Biokraftwerkes. Der Standort soll so gewählt werden, dass die Anlage von allen drei Orten gleich weit entfernt ist (Luftlinie). Für die Entfernungen der Städte gilt:

Echzell – Wölfersheim 5 km

Echzell – Hungen 8 km

Hungen – Wölfersheim 9 km

Bestimme die Entfernung des Biokraftwerkes zu den Städten durch eine Konstruktion.

A

B

C ✕ ✕

✕

A

B

C ✕ ✕

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A

B

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Info Die Form und Größe von Vierecken wird durch ihre Seitenlängen und Winkelgrößen bestimmt. Sind jeweils alle Seitenlängen und Winkelgrößen gleich groß, so sind die Vierecke kongruent zueinander (deckungsgleich). Man muss nicht alle Seiten und Winkel von Vierecken kennen, um entscheiden zu können, ob Vierecke kongruent zueinander sind.

So konstruierst du ein unregelmäßiges Viereck:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

1. Fertige eine Planfigur an. Das ist eine Skizze, in der du alles markierst, was du an bekannten Stücken gegeben hast.

2. Zeichne die erste Strecke (a) und benenne deren Eckpunkte (A und B).

3. Trage in den Punkten der Strecke die Winkel ab und zeichne die Schenkel der Winkel.

4. Nimm die Seitenlänge der Seite d in die Zirkelspanne. Stich in A ein und trage auf dem Schenkel ab. Markiere den Punkt D.

5. Nimm die Seitenlänge der Seite b in die Zirkelspanne. Stich in B ein und trage auf dem Schenkel ab. Markiere den Punkt C.

6. Verbinde nun noch C und D. Benenne alle Seiten.

� Konstruiere folgende Vierecke. Miss die fehlenden Winkel und Seiten.

a) a = 6 cm, b = 4 cm, d = 3 cm, a = 65°, b = 70°

b) a = 3 cm, c = 2 cm, d = 5 cm, d = 60°, a = 55°

Unregelmäßige Vierecke konstruieren

A✕

✕

✕B

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α β

✕

b

a

d

c

A✕ ✕

B A✕ ✕

B85˚ 95˚

a a

A✕ ✕

B85˚ 95˚

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✕

A✕ ✕

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✕ ✕D D

d d

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Unregelmäßige Vierecke konstruieren

Info Die Form und Größe von Vierecken wird durch ihre Seitenlängen und Winkelgrößen bestimmt. Sind jeweils alle Seitenlängen und Winkelgrößen gleich groß, so sind die Vierecke kongruent zueinander (deckungsgleich). Man muss nicht alle Seiten und Winkel von Vierecken kennen, um entscheiden zu können, ob Vierecke kongruent zueinander sind.

! Jan hat nach einer vorgegebenen Konstruktionsbeschreibung ein Viereck konstruiert. Dabei hat er jedoch zwei Fehler gemacht. Markiere diese in den Konstruktionsschritten. Notiere dann die gegebenen Stücke und konstruiere das Viereck richtig in dein Heft.

Konstruktionsbeschreibung(1) Mache dir eine Planfigur.(2) Zeichne die Strecke a = 4 cm und benenne die Eckpunkte mit A und B.(3) Trage den Winkel a = 85° an A und den Winkel b = 95° an B ab.(4) Zeichne einen Kreis(bogen) um A mit Radius d = 2,5 cm und bezeichne den

Schnittpunkt des Kreis(bogens) mit dem zweiten Schenkel von a mit D. (5) Zeichne einen Kreis(bogen) um B mit Radius b = 3 cm und bezeichne den

Schnittpunkt des Kreis(bogens) mit dem zweiten Schenkel von b mit C. (6) Verbinde C mit D und vervollständige die Bezeichnung.

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

Gegebene Stücke:

2 Konstruiere jeweils die Vierecke aus den gegebenen Stücken. Bestimme die fehlenden Seiten und Winkel durch Messen. Mache zu jeder Aufgabe eine Planfigur.

a) a = 5 cm; b = 4 cm; c = 6 cm; d = 7 cm; b = 70° a = _____ g = _____ d = _____

b) a = 3,5 cm; b = 3 cm; d = 2 cm; a = b = 95° c = _____ g = _____ d = _____

A✕

✕

✕B

D C

α β

✕

b

a

d

c

A✕ ✕

B A✕ ✕

B85˚ 95˚

a a

A✕ ✕

B85˚ 95˚

a

✕

A✕ ✕

B85˚ 95˚

a

✕ ✕D D

d d

C

b

A✕ ✕

B85˚ 95˚

a

✕

✕

D

d

C

b

c✕✕✕

D

A

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(3)

kel ezeichon b C

eichne denmit D.

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m unnk

(1)

✕✕

d

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es Kreis(bogemit D und vervol

)

m A miens) mit de

um B mit Rs) m

beneden W

Radim zwe

die Eckpinke = 9us d = 2,5

unkte mit A

diesd kon


Erinnere Dich:

Rechtecke haben vier rechte Winkel. Deshalb heißen sie auch Rechtecke. Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang.

Quadrate sind besondere Rechtecke. Alle vier Seiten sind gleich lang.

So konstruierst du Rechtecke und Quadrate.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7.

1. Fertige eine Planfigur an. Das ist eine Skizze, in der du alles markierst, was du an bekannten Stücken gegeben hast.

2. Zeichne die erste Strecke (a) und benenne deren Eckpunkte (A und B).

3. Trage in dem ersten Punkt (A) der Strecke den rechten Winkel (90°) ab und zeichne den Schenkel des Winkels.

4. Nimm die Seitenlänge der Seite d bzw. b in die Zirkelspanne. Stich in A ein und trage auf dem Schenkel ab. Markiere den Punkt D.

5. Trage in dem Punkt B den rechten Winkel (90°) ab und zeichne den Schenkel des Winkels.

6. Nimm die Seitenlänge der Seite b bzw. d in die Zirkelspanne. Stich in B ein und trage auf dem Schenkel ab. Markiere den Punkt C.

7. Verbinde nun noch C und D. Benenne alle Seiten.

� Konstruiere folgende Vierecke. Entscheide, ob es sich um ein Quadrat oder um ein Rechteck handelt.

a) a = 3 cm, b = 7 cm b) c = 5 cm, b = 5 cm

c) a = 4 cm, d = 4 cm d) c = 5,5 cm, b = 4 cm

Rechtecke und Quadrate konstruieren

bd (= b)

c (= a)

a

✕ ✕

✕✕

CD

A B

a✕ ✕

A B a✕ ✕A B

a✕ ✕A

D

B

d

b

a

d✕

✕✕

A

D C

B

b

a✕

✕✕

A

D C

B

d

a✕ ✕A

D

B

d

binde n

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nländem Schen

un noch C

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e d bzarkiere de

ten Winkel (

b

b in die Zirkn Punkt D.

90

echten W

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B).

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4. Nimm dietrage auf

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geben

e Strecke (a) u

ten Punkt (A) el de

s ist eine Shast.

d be

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bd✕✕

✕✕

A B

✕✕A

d


Rechtecke und Quadrate konstruieren

Info Normalerweise benötigt man mindestens fünf Stücke (Seiten und Winkel), um ein Viereck eindeutig konstruieren zu können. Oftmals werden aber weniger als fünf Stücke eines Vierecks angegeben. Damit die Konstruktion trotzdem eindeutig ist, werden dann zusätzlich die Eigenschaften von besonderen Vierecken (siehe Arbeitsblatt 18) ausgenutzt.

! a) Beschreibe die einzelnen Konstruktionsschritte. Achtung: Die Zeichnungen sind nicht in der Originalgröße, sondern verkleinert (Maßstab 1:4) dargestellt.

(1) (2) (3) (4)

(5) (6) (7)

Konstruktionsbeschreibung

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

b) Notiere die gegebenen Stücke:

c) Konstruiere das Viereck in Originalgröße in dein Heft. Beginne dabei mit der Seite a.

d) Gib die Viereckart an:

@ Konstruiere die gesuchten Figuren. Bestimme die fehlenden Seitenlängen bzw. die Längen der Diagonalen durch Messen. Achtung: Du musst bei den Konstruktionen die Eigenschaften der Figuren benutzen.

a) Rechteck mit a = 6 cm und b = 3 cm e = _____ f = _____

b) Rechteck mit a = 7 cm und e = 7,2 cm b = _____ f = _____

c) Quadrat mit a = 5 cm e = _____ f = _____

d) Quadrat mit e = 5,6 cm a = _____ f = _____

a

r1 r2

✕

✕✕

A

D C

B

✕ ✕

a✕

✕✕

A

D C

B

✕ ✕

r1 r2

✕

a✕ ✕A

D

B

r1

bd (= b)

c (= a)

a

✕ ✕

✕✕

CD

A B

a✕ ✕

A B a✕ ✕A B

✕

a✕ ✕A

D

B

r1

ere

Konstru

b die Vie

die gegebe

re das Vi

nen S

(3)

4)

(5)

(6

ng

B

✕

)

r1

A

✕ ✕✕C

✕


Info Betrachte die Abbildungen. So konstruierst du ein Parallelogramm.

Denke daran: Gegenüberliegende Seiten sind parallel und gleich lang. Die Summe von zwei nebeneinander liegenden Winkeln beträgt 180°.

Planfigur:

D C

BA a

d

a

geg.: a, d, α

1.

A

2.

A B

3.

A Ba

1.-2. Zeichne die Strecke AB.3.-4. Konstruiere die Seite d.5. Konstruiere eine Parallele zu AB durch D.6. Konstruiere eine Parallele zu AD durch B.7. Benenne den Schnittpunkt C und alle Seiten.

Parallelogramme konstruieren

� Konstruiere ein beliebiges Parallelogramm. Miss alle Seiten und Winkel.

� Konstruiere vier Parallelogramme.a) a = 5 cm; b = 3 cm; α = 75°b) b = 4 cm; c = 7 cm; γ = 40°c) a = 7 cm; d = 4 cm; δ = 45°d) c = 6 cm; d = 2 cm; β = 130°

✕ ✕

✕

✕

✕✕

D C

BA

a

a

ha

hbb b

Tipp:

Der Abstand der jeweils parallelen Seiten wird als Höhe bezeichnet.

4.

A B

D

5.

A B

D

6.

A B

D

7.

A B

D Cc

a

bd

rstruiereenne den S

e See eine Paral

eine ParalleSchn

ke AB.te d.

ele z

AA

6

D

B A

D


� Verfasse eine Konstruktionsbeschreibung für ein Trapez.

� Konstruiere ein beliebigesTrapez.Miss alle Seiten und Winkel.

� Konstruiere ein beliebiges gleichschenkliges Trapez.Miss alle Seiten und Winkel.

Trapeze konstruieren

Info Betrachte die Abbildungen. So konstruierst du ein Trapez.Denke daran: Zwei gegenüberliegende Seiten sind parallel.

Planfigur:

B

D C

A a

d

βα

geg.: a, d, α, β

1.

A

2.

A B

3.

A Ba

1.-2. Zeichne die Strecke AB .3.-4. Konstruiere die Seite d.5. Konstruiere eine Parallele zu AB (durch D.6. Konstruiere die Seite b.7. Benenne den Schnittpunkt und alle Seiten.

✕

✕ ✕

✕D C

BA a

hbd

c

4.

A B

D

5.

A B

D

6.

A B

D

b

7.

A B

D Cc

a

bd

Tipp: Es gibt auch gleichschenklige Trapeze. Die haben die Eigenschaften:

1: Zwei Seiten sind gleich lang (b = d). Die anderen Seiten sind parallel (a und c).

D C

BA a

b

c

d

2: Die Winkel an den parallelen Seiten sind gleich groß (α = β, γ = δ).

D C

BA a

b

c

a

d

b

d g

3: Zwischen den parallelen Seiten (a und c) verläuft die Mittelsenkrechte der beiden Seiten. Sie ist gleichzeitig die Symmetrieachse des Trapezes.

D C

BA a

b

c

d

truonstruier

ruiere dnne de

Streciere die Seit

eine ParalS

ke ABe d.

D

b

A

3

d

β,

lSeiten sind γ = δ)

Cg

B

gleich

A

A

D

BA

d

d). Dd par


Parallelogramme und Trapeze konstruieren

Info In Parallelogrammen und Trapezen wird der Abstand der jeweils zueinander parallelen Seiten als Höhe bezeichnet.

✕ ✕

✕

✕

✕✕

D C

BA

a

a

ha

hbb b

✕

✕ ✕

✕D C

BA a

hbd

c

! Ergänze in den Koordinatensystemen jeweils den Punkt A, sodass sich ein Parallelogramm ergibt. Gib auch die Koordinate von A an.

a) A(___ | ___) b) A(___ | ___) c) A(___ | ___)

2 Konstruiere die gesuchten Figuren. Bestimme die fehlenden Seitenlängen bzw. die Länge der Höhen durch Messen. Achtung: Du musst bei den Konstruktionen die Eigenschaften der Figuren benutzen.

a) Parallelogramm mit a = 5 cm, b = 3 cm und a = 50°

b) Parallelogramm mit a = 6 cm, ha = 4 cm und b = 73°

c) Trapez mit a = 3 cm, b = 3,8 cm, c = 4,6 cm und b = 56° a || c

d) Trapez mit a = 4 cm, d = 3,2 cm, a = b = 103° a || c

3 Konstruiere die Parallelogramme in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm). Gib näherungsweise die Koordinaten der fehlenden Punkte an und miss die fehlenden Stücke.

a) A(–2 | –3) B(4 | –3) b = 5 cm f = 9 cm

C(___ | ___) D(___ | ___) e = _____ a = g =____ b = d = ____

b) B(6 | –3) C(6 | 2) a = 8 cm d = 65°

A(___ | ___) D(___ | ___) e = _____ f = _____ a = g =____ b = ____

1 2 3 4–1–2–3–4

1

2

3

4

–1

–2

–3

–4

D

x

y

✕B

C✕

✕

1 2 3 4–1–2–3–4

1

2

3

4

–1

–2

–3

–4

D

x

y

✕B

C✕

✕

1 2 3 4–1–2–3–4

1

2

3

4

–1

–2

–3

–4

D

x

y

✕B

C✕

✕

nstruiereerungswei

e.

= 4 c

die Parallse d

m, b =

m, d =

b = 3 cm

ha = 4 cm un

, c =

nd a = 50°

d b =

ehlensst bei d

den Sen Ko

eitenläng

–3–3–––

–4–4–

44443333 43

Eigensc

a) ralle

b) Paralle

) T

Höhen daften der F

ogramm

gesuchten Figuurch Mess

ure

–4–4–––

11–111–1–1–––

–2–2

44442222 42xx

C

___

33C✕✕✕


Info Betrachte die Abbildungen. So konstruierst du eine Raute.

Beachte, dass alle vier Seiten gleich lang sind.

Planfigur:

geg.: Seiten a, b , c, d, Diagonale f

1. Zeichne die Diagonale f. Das ist die Strecke DB.

2. Trage mit dem Zirkel die Seiten c (Strecke CD) und b (Strecke BC) nach oben ab. Es entsteht der Punkt C. Vervollständige zu einem Dreieck.

3. Trage mit dem Zirkel die Seiten a (Strecke AB) und d (Strecke AD) nach unten ab. Es entsteht der Punkt A. Zeichne die Strecken ein.

4. Verbinde nun die Punkte A und C. Dies ist die Diagonale e. Beschrifte alle Strecken.

f

e

C

D B

c b

d a

A

Rauten konstruieren

f

1.

D B

f

C

D B

c b

2.

f

C

D B

c b

d a

A

3.

fe

C

D B

c b

d a

A

4.

Konstruiere eine beliebige Raute.

Miss alle Seiten und Winkel.

mit tsteht de

mit demeht de

gona

dem Zirkel dPunkt C. V

le f. D

e Se

A

D

d

fe

B

b

Df

c

4.


Drachenvierecke konstruieren

Info Betrachte die Abbildungen. So konstruierst du ein Drachenviereck.

Beachte, dass c = b und a = d ist.

Planfigur:

geg.: Seiten a, b , c, d, Diagonale f

1. Zeichne die Diagonale f. Das ist die Strecke DB.

2. Trage mit dem Zirkel die Seiten c (Strecke CD) und b (Strecke BC) nach oben ab. Es entsteht der Punkt C. Vervollständige zu einem Dreieck.

3. Trage mit dem Zirkel die Seiten a (Strecke AB) und d (Strecke AD) nach unten ab. Es entsteht der Punkt A. Zeichne die Strecken ein.

4. Verbinde nun die Punkte A und C. Dies ist die Diagonale e.Beschrifte alle Strecken.

f

e

C

D B

c b

d a

A

f

1.

D B

f

C

D B

c b

2.

f

C

D B

c b

d a

A

3.

fe

C

D B

c b

d a

A

4.

� Verfasse eine Konstruktionsbeschreibung für ein Drachenviereck.Benenne, was man im Vergleich zu einer Raute beachten muss.

� Konstruiere ein beliebiges Drachenviereck.Miss alle Seiten und Winkel.

ge mit dteht der P

mit de

e Diagonale

m Zirkel dieunkt C

B

f. Da

d

A

f

b

c

2.C

BD

b

4


Rauten und Drachenvierecke konstruieren

! Ergänze in den Koordinatensystemen jeweils den Punkt A, sodass sich eine Raute ergibt. Gib auch die Koordinate von A an.

a) A(___ | ___) b) A(___ | ___) c) A(___ | ___)

@ Ergänze in den Koordinatensystemen jeweils den Punkt A, sodass sich ein Drachenviereck mit der Symmetrieachse BD ergibt. Gib auch die Koordinate von A an.

a) A(___ | ___) b) A(___ | ___) c) A(___ | ___)

3 Konstruiere die gesuchten Figuren. Bestimme die fehlenden Seitenlängen bzw. die Längen der Diagonalen durch Messen. Achtung: Du musst bei den Konstruktionen die Eigenschaften der Figuren nutzen.

a) Raute mit a = 5 cm und a = 50°

b) Raute mit c = 6 cm, f = 4 cm

c) Drachenviereck mit a = 3 cm, b = 3,8 cm, f = 4,6 cm (Symmetrieachse ist AC)

d) Drachenviereck mit a = 4 cm, e = 3,2 cm, f = 5,5 cm (Symmetrieachse ist BD)

1 2 3 4–1–2–3–4

1

2

3

4

–1

–2

–3

–4

D

x

y

✕B

C✕

✕

1 2 3 4–1–2–3–4

1

2

3

4

–1

–2

–3

–4

D

x

y

✕B

C✕

✕

1 2 3 4–1–2–3–4

1

2

3

4

–1

–2

–3

–4

D

x

y

✕B

C✕

✕

1 2 3 4–1–2–3–4

1

2

3

4

–1

–2

–3

–4

D

x

y

✕B

C✕

✕

1 2 3 4–1–2–3–4

1

2

3

4

–1

–2

–3

–4

D

x

y

✕B

C✕

✕

1 2 3 4–1–2–3–4

1

2

3

4

–1

–2

–3

–4

D

x

y

✕B

C✕

✕

nstruieen der Dgensc

die gesu

22–22233–33344–444

–2–2–––

✕✕✕

3333211 31

11

✕✕✕B

A(___ | __

yy

te von

22–222

33

D

C✕✕✕

✕✕✕

b) A(___ | _

n jewse B

)

ls den PunD ergibt. G

kt A, so

–4–4–

✕✕B


� Ergänze sinnvoll.

So konstruierst du ________________________ und .

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7.

1. Fertige eine Planfigur an. Das ist eine Skizze, in der du alles markierst,

.

2. Zeichne die erste Strecke (a) und .

3. Trage in dem ersten Punkt (A) der Strecke den rechten Winkel (90°) ab und

zeichne den .

4. Nimm die Seitenlänge der Seite d bzw. .

Stich in A ein und trage auf dem Schenkel ab. Markiere den Punkt D.

5. Trage in dem Punkt B den rechten Winkel (90°) ab und zeichne

.

6. Nimm die Seitenlänge _________________________________.

Stich in B ein und trage _________________________. Markiere den Punkt C.

7. Verbinde nun noch _________________________.

Benenne alle _________________________.

� Konstruiere ein beliebiges Parallelogramm.Miss alle Winkel und Seiten.

� Beschreibe, wie du ein Trapez konstruierst.

� Konstruiere eine beliebige Raute.Miss alle Winkel und Seiten.

Vermischte Übungen zu: Vierecke konstruieren

bd (= b)

c (= a)

a

✕ ✕

✕✕

CD

A B

a✕ ✕

A B a✕ ✕

A Ba

✕ ✕A

D

B

d

b

a

d

✕

✕✕

A

D C

B

b

a✕

✕✕

A

D C

B

d

a✕ ✕

A

D

B

d

h in

erbinde n

nenne a

Seitenlä

B ein und tr

un n

änge

age

dem Sc

chten Winke

w.

enkel ab. Ma

el (

arkie

en W nkel (90°°) ab

4. Nimm

ich in

5. Trage

en

die Seiten

A ein u

ke (

ersten Punkt (

a) und

) de

eine Skizze, in der du a

B


Vermischte Übungen zu: Vierecke konstruieren

1 a) Trage die Punkte

A1(2,5 | 3,5), B1(1 | 2,5), C1(2,5 | 0,5),

A2(–1,5 | 0,5), B2(–1 | 2), C2(–4 | 3),

A3(–1,5 | –1), B3(–3,5 | –1), C3(–4,5 | –2,5),

A4(0,5 | –2), B4(2 | –3), C4(3,5 | –2)

in das Koordinatensystem ein.

b) Ergänze die Punkte D1 bis D4, so dass sich die angegebene Figur ergibt.

c) Zeichne bei allen Figuren die Diagonalen e1

bis e4 und f1 bis f4 ein und gib näherungsweise die Koordinaten der Diagonalenschnittpunkte S1 bis S4 an.

S1(__ | __) S2(__ | __) S3(__ | __) S4(__ | __)

2 Übertrage die Figuren in dein Heft, zeichne die Höhen ein und gib ihre Längen an.

3 Konstruiere die gesuchten Figuren. Bestimme die fehlenden Stücke durch Messen. Achtung: Du musst bei den Konstruktionen teilweise die Eigenschaften der Figuren benutzen.

a) Unregelmäßiges Viereck mit a = 3,9 cm; b = 5,4 cm; c = 2,6 cm; d = 4,7 cm; g = 70°

e = _____ f = _____ a = _____ b = _____ d = _____

b) Raute mit a = 6 cm, f = 4 cm

e = _____ ha = _____ a = g = _____ b = d = _____

c) Drachenviereck mit a = 5,2 cm, b = 2,8 cm, e = 4,6 cm (Symmetrieachse ist BD)

f = _____ a = _____ b = _____ g = _____ d = _____

d) Parallelogramm mit b = 5 cm, hb = 4,2 cm und g = 73°

a = _____ e = _____ f = _____ ha = _____ a = _____ b = d = _____

e) Quadrat mit f = 6 cm.

a = _____ e = _____

1 2 3 4–1–2–3–4

1

2

3

4

–1

–2

–3

–4

Parallelogramm

x

y

Drachenviereck

gleichschenkligesTrapez

Raute

✕✕

✕✕

✕

✕ ✕

✕

✕

✕ ✕

✕

✕

✕

✕

✕

ge

e = ___

ute mit a

lmäßiges Vi

_ f = ___

t bei de

ereck

ren. Bestimstru

✕✕✕✕✕✕ ✕✕✕✕✕✕✕

✕✕✕✕✕✕✕✕

en an.

✕

KonstA

eichn die Höhen

__)

ein un

–3–3–––

–4–4–––


� Konstruiere entweder ein spitzwinkliges, ein stumpfwinkliges oder ein rechtwinkliges Dreieck.

a) Miss alle Winkel, Höhen und Seiten des Dreiecks.b) Was kannst du zu den Seiten sagen? Denk daran, wann ein Dreieck

konstruierbar ist.c) Benenne die Unterschiede der drei genannten Dreiecksarten.

� Konstruiere einen Kreis mit beliebigem Radius.

a) Zeichne drei Punkte auf die Kreislinie.b) Verbinde die drei Punkte.c) Es entsteht ein Dreieck. Wie nennt man den Kreis?d) Konstruiere den Mittelpunkt des Kreises. Welche besonderen Linien musst du

dazu konstruieren?

� a) Beschreibe, wie man einen Winkel in zwei gleich große Teile teilt. Fertige eine Skizze dazu an.

b) Wie kann man einen rechten Winkel konstruieren?

� Konstruiere ein Dreieck mit beliebigen Maßen.Konstruiere den Inkreis zu dem Dreieck.

� Benenne die Vierecksarten.1) 2) 3)

4) 5) 6) 7)

� Konstruiere je eina) Rechteck oder Quadratb) Parallelogramm oder Trapezc) Raute oder Drachenviereck Fertige zu einer deiner Konstruktionen eine Konstruktionsbeschreibung an.

Lernzielkontrolle zum Konstruieren 1

Name: Datum:

ksar

beliebem Dreie

n Maßen.k.

eren?

ße eile teilt

Linien mu

. Fertigeroß

usst du

� KonstruiKonstrui

Ben

ann man

ere ein D

man einenan.

einen rech

es Kr

Winkel i

t maeises.

den KreisWelche

n.



Name: Datum:

� Konstruiere entweder ein gleichseitiges, ein gleichschenkliges oder ein unregelmäßiges Dreieck.

a) Miss alle Winkel, Höhen und Seiten der Dreiecke.

b) Was kannst du zu den Winkeln sagen?

c) Benenne die Unterschiede der genannten Dreiecksarten.

� Konstruiere einen Kreis mit beliebigem Radius.

a) Zeichne eine Strecke AB an den Kreis, die genau einen Schnittpunkt mit ihm hat.

b) Zeichne eine weitere Strecke BC an den Kreis, die genau einen Schnittpunkt mit ihm hat.

c) Zeichne eine dritte Strecke CA an den Kreis, die genau einen Schnittpunkt mit dem Kreis hat.

d) Nun solltest du ein Dreieck um den Kreis gezeichnet haben. Der Kreis berührt jede Seite des Dreiecks. Wie nennt man diesen Kreis?

e) Konstruiere den Mittelpunkt des Kreises. Welche besonderen Linien musst du dazu konstruieren?

� Konstruiere ein Dreieck mit beliebigen Maßen.Konstruiere den Umkreis zu dem Dreieck.

� Hier siehst du, wie Seitenhalbierendekonstruiert werden. Beschreibe.

� Konstruiere je ein

a) Rechteck oder Quadrat

b) Parallelogramm oder Trapez

c) Raute oder Drachenviereck

Warum wurde die Wahl zwischenden Vierecken ermöglicht?

A B

C1.

A B

C2.

A B

C3.

A B

C4.

A B

C5.

A B

C6.

A B

C7.

A B

C8.

S

rui

struiere

ech

t du, wieert werden

kr

e SeitBes

beliebigen dem Dreiec

s. We

Maß

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lche bes

et hais?

onde

ben. Der

n Schnittpun

Krene

tpunkt

t mit

)daz

� KonstruKons

struiere deu konstruie

u ein Dreieces Dreiecks. W

n Mitte

ke CA an d

um d

C an d

en Kr

n Kreis, di

u einen S

e gena

Schnittpunk



1 a) Konstruiere die beiden Dreiecke in ein Koordinatensystem (Einheit 1 cm).

(1) A1(–2 | –2,5) C1(1,5 | –4) a1 = 51° g1 = 66°

(2) A2(–3 | 4,5) B2(2 | 2,5) a2 = 4,2 cm b2 = 96°

b) Gib näherungsweise die Koordinaten der fehlenden Punkte an.

(1) B1(___ | ___) (2) C2(___ | ___)

c) Miss die fehlenden Stücke.

a1 = _____ b1 = _____ c1 = _____ b1 = _____

b2 = _____ c2 = _____ a2 = _____ g2 = _____

@ Konstruiere zu dem nebenstehenden Kreis den Mittelpunkt.

Tipp: Denke an den Umkreis eines Dreiecks.

3 Konstruiere jeweils den Umkreis und gib seinen Radius an.

a) Quadrat mit a = 3,7 cm rUmkreis = _____

b) Rechteck mit b = 5,1 cm und f = 6,3 cm rUmkreis = _____

4 a) Konstruiere das Viereck nach der vorgegebenen Konstruktionsbeschreibung.

(1) Zeichne eine 6 cm lange Strecke BC. (2) Trage an der Strecke BC in Punkt C den Winkel 70° ab. (3) Trage an der Strecke BC in Punkt B den Winkel 110° ab. (4) Zeichne einen Kreisbogen um C mit dem Radius 3,8 cm und bezeichne den

Schnittpunkt des Kreisbogens mit dem zweiten Schenkel des 70°-Winkels mit D. (5) Zeichne zur Strecke BC durch den Punkt D eine Parallele. (6) Bezeichne den Schnittpunkt der Parallelen mit dem zweiten Schenkel des

110°-Winkels mit A. (7) ABCD ist das gesuchte Viereck.

b) Gib an, welche Stücke gegeben waren.

c) Gib an, um welche Viereckart es sich handelt.

Name: Datum:

1) Zeich) Trage an

Trage

ere das Vie

ne eine 6 cmd

eck n

= 6,3 cm rUm

seinen Ra

rUmkrei ___

kre

adius an3 Konstru

a) adra

b) Recht

ere jeweils

mit a =

mkreis eine

henden Kre

s Dreiecks.

s den

= _____

b1 = __



! Beschreibe, wie man ohne zu Messen einen Winkel von 45° konstruieren kann.

2 Konstruiere die Dreiecke aus den gegebenen Stücken. Bestimme die fehlenden Stücke (Strecken und Winkel) durch Messen.

a) a = 7 cm; b = 4 cm; rUmkreis = 5 cm c = _____; a = _____; b = _____; g = _____

b) a = 5 cm; b = 4 cm sa = 4,5 cm c = _____; a = _____; b = _____; g = _____

# Erkläre, warum in einem Dreieck die Seitenhalbierende einer Seite nie kleiner sein kann als die zu der Seite gehörende Höhe.

4 Konstruiere jeweils den Inkreis und gib seinen Radius an.

a) Quadrat mit f = 6,8 cm rInkreis = _____

b) Raute mit a = 2,8 cm und g = 50° rInkreis = _____

% Welche Bedingungen müssen mindestens erfüllt sein, damit

a) zwei Quadrate zueinander kongruent sind?

b) zwei Rauten zueinander kongruent sind?

c) zwei Rechtecke zueinander kongruent sind?

Name: Datum:

che Bedin

ei Q

= 6

mit a = 2,8 c

gun

n I

,8 cm

m und

und gib sei

er sein

Kons

nde HöSeiten

he.halbierend

a = _____

me die

_; b ____

b = __


Lösungen

Seitenhalbierende in Dreiecken Seite 6

� Wenn der Satz auf die Konstruktion zutrifft, sind die Seitenhalbierenden mit hoher Wahrscheinlichkeit richtig gezeichnet worden.

� Individuelle Schülerlösungen

Seitenhalbierende in Dreiecken Seite 7

! a)

b) Bei stumpfwinkligen Dreiecken schneiden sich die Seitenhalbierenden in einem Punkt im inneren des Dreiecks.

Bei spitzwinkligen Dreiecken schneiden sich die Seitenhalbierenden in einem Punkt im inneren des Dreiecks.

Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die Seitenhalbierenden in einem Punkt im inneren des Dreiecks.

2 (1) S(5,7 | 4) (2) S(–1 | –0,7) (3) S(–4 | 3,2)

3 a) sa = 4,3 cm s

b = 3,6 cm s

c = 2,5 cm

b) sa = 6,5 cm s

b = 4,4 cm s

c = 5,7 cm

c) sa = 5,9 cm s

b = 6,5 cm s

c = 2,5 cm

✕

✕

✕ ✕

✕

✕

✕ ✕

✕

✕

✕

✕✕

✕

✕

✕

✕

✕✕

✕

✕

C

A

S

B B B

C

S

A

C

A

SSb

SaSc

Sb

Sc

Sa SaSb

Sc

n des

cm s

7)

3,6 cm

4 cm b

sb = 4

= 6,5 cm

(3) S(–4

sc

=

die Se

3,2)

lbieren

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en in e

en in einem

n in ei

nem Punkt im i

kt


Lösungen

Vermischte Übungen zu besonderen Linien Seite 8

� Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in drei Seitenlängen übereinstimmen (SSS).

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und der von den Seiten eingeschlossenen Winkelgröße übereinstimmen (SWS).

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seitenlänge und beiden der Seite anliegenden Winkelgrößen übereinstimmen (WSW).

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seitenlänge und zwei weiteren Winkelgrößen übereinstimmen (SWW).

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seitenlängen und der der größeren Seite gegenüberliegenden Winkelgröße übereinstimmen (SSW).

� a) Bei jedem Dreieck kann man einen Umkreis zeichnen, indem man den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten als Mittelpunkt des Kreises wählt.

b) Individuelle Schülerlösung

c) Bei stumpfwinkligen Dreiecken schneiden sich die Mittelsenkrechten außerhalb des Dreiecks. Bei spitzwinkligen Dreiecken schneiden sich die Mittelsenkrechten innerhalb des Dreiecks. Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die Mittelsenkrechten auf der Seite des Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.

� a) Bei jedem Dreieck kann man einen Inkreis einzeichnen, indem man den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden als Mittelpunkt des Kreises wählt. Der Radius ist dann der Abstand von Mittelpunkt bzw. Schnittpunkt zu den Seiten.


c) Bei stumpfwinkligen, spitzwinkligen und rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die Winkelhalbierenden immer innerhalb des Dreiecks.

� a) Den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden nennt man auch Schwerpunkt des Dreiecks.


c) Bei stumpfwinkligen, spitzwinkligen und rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die Seitenhalbierenden immer innerhalb des Dreiecks.

� a) Individuelle Schülerlösung

b) Bei stumpfwinkligen Dreiecken schneiden sich die Höhen außerhalb des Dreiecks. Bei spitzwinkligen Dreiecken schneiden sich die Höhen innerhalb des Dreiecks. Bei rechtwinkligen Dreiecken schneiden sich die Höhen im Eckpunkt des rechten Winkels.

Vermischte Übungen zu besonderen Linien Seite 9

1

Es sollte auffallen, dass die Gerade der dritten besonderen Linie entspricht. Daraus kann man schließen, dass zum Konstruieren des Höhenschnittpunktes, des Inkreismittelpunktes, des Umkreismittelpunktes und des Schwerpunktes jeweils zwei besondere Linien ausreichen.

A

B

CA A

B B

C C

✕

✕✕

✕ ✕ ✕ ✕ ✕

✕

✕

✕

✕

✕

✕

✕

hc Sbha

Sc

WaWy

ischte Ü

B✕✕

✕✕

denm Eck

bungen zu

reieckensich dipunkt d

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a) Indiv

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tzwinkligen es Dreiecks.

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s Kreises

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eite d

n, indem maDer Rad

n außernerhalb des

Dreiecks, di

unkt d

halb des DreiecDreiecks.

d


Lösungen

2 r = 4 cm

3 r = 1,6 cm

^ Der Inkreis hat in der Zeichnung einen Radius von 1,7 cm, also einen Durchmesser von 3,4 cm. Somit hat die Scheibe einen Durchmesser von 34 cm.

& Die Entfernung des Biokraftwerkes zu den Städten beträgt 4,5 km.

Unregelmäßige Vierecke konstruieren Seite 10

a) a = 3 cm, b = 4 cm, d = 3 cm, a = 65°, b = 70°

� c = 3,5 cm; g = 93°, d = 132°

b) a = 3 cm, b = 2 cm, d = 5 cm, a = 60°, d = 55°

� b = 2 cm; b = 98°, g = 147°

Hinweis: Bei den Lösungen handelt es sich um gerundete Werte.

Unregelmäßige Vierecke konstruieren Seite 11

! Jan hat den Winkel β = 95° anstatt β = 85° abgetragen und die Seite b = 2,5 cm statt b = 3 cm genommen.

Gegebene Stücke: Richtiges Viereck:

a = 4 cm

b = 3 cm

d = 2,5 cm

α = 85°

β = 85°

2 a) α = 103° γ = 141° δ = 46°

b) c = 4,1 cm γ = 71° δ = 99°

Rechtecke und Quadrate konstruieren Seite 12

a) Rechteck b) Quadrat c) Quadrat d) Rechteck

Rechtecke und Quadrate konstruieren Seite 13

! a) Konstruktionsbeschreibung

(1) Mache eine Planfigur.

(2) Zeichne die Strecke a = 3,5 cm und benenne die Eckpunkte mit A und B.

(3) Trage einen rechten Winkel bei α ab.

(4) Zeichne einen Kreis(bogen) um A mit Radius r1 = 3,5 cm und bezeichne den Schnittpunkt des

Kreisbogens mit dem Schenkel von α mit D.

(5) Trage einen rechten Winkel bei β ab.

(6) Zeichne einen Kreis(bogen) um B mit Radius r2 = 3,5 cm und bezeichne den Schnittpunkt des

Kreisbogens mit dem Schenkel von β mit C.

(7) Verbinde C mit D und vervollständige die Bezeichnung.

b) a = 3,5 cm; b = 3,5 cm; α = 90°; β = 90°

d) Es handelt sich um ein Quadrat.

A B

CD✕

✕

✕✕

c

b

a

d

103°87°

85°85°

tecke u

struktions

a

b) Q

d Quadra

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✕ B✕a

85°

b

t b = 3 cm gen

C✕

°

Seite

ommen.

β = 85°

2 a) 103°

b) c = 4,1

abgetra en un

Rich

d die Seit


Lösungen

@ a) e = 6,7 cm f = 6,7 cm b) b = 2 cm f = 7,2 cm

c) e = 7,1 cm f = 7,1 cm

d) a = 4 cm f = 5,6 cm

Parallelogramme konstruieren Seite 14

1: Individuelle Schülerlösungen

2: a) a || c = 5 cm; b || d = 3 cm; α = γ = 75°; β = δ = 105°

b) a || c = 7 cm; b || d = 4 cm; α = γ = 40°; β = δ = 140°

c) a || c = 7 cm; b || d = 4 cm; α = γ = 135°; β = δ = 45°

d) a || c = 6 cm; b || d = 2 cm; α = γ = 50°; β = δ = 130°

Trapeze konstruieren Seite 15

� Fertige eine Planfigur an.

1. Zeichne eine Halbgerade mit dem Punkt A.

2. Trage auf der Halbgerade mit der Zirkelspanne der Strecke a einen Punkt ab. Nenne den Punkt B.

3. Trage an der Strecke a im Punkt A den Winkel ab.

4. Nimm die Länge der Strecke D in die Zirkelspanne und trage auf diesem Schenkel den Punkt D ab. Benenne ihn.

5. Konstruiere eine Parallele von der Strecke a durch den Punkt D. (Je nach Fähigkeiten der Schüler kann diese Parallele mit dem Geodreieck oder mit Hilfe des Nebenwinkelsatzes konstruiert werden.)

6. Trage an der Strecke a im Punkt B den Winkel ab.

7. Nenne den Schnittpunkt C und benenne alle Seiten.



Parallelogramme und Trapeze konstruieren Seite 16

! a) A(0 | 3) b) A(2 | –1,5) c) A(–1 | –2)

1 2 3 4–1–2–3–4

1

2

3

4

–1

–2

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x

y

✕B

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D

A

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C

✕

✕

✕

1 2 3 4–1–2–3–4

1

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–2

–3

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D

x

y

✕B

C

A

✕

✕✕

2 a) ha = 2,3 cm h

b = 3,8 cm

b) b = 4,2 cm hb = 5,7 cm

c) d = 4,9 cm ha = 3,2 cm

d) b = 3,2 cm c = 5,4 cm ha = 3 cm

0 | 3)

3

44

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A✕✕✕✕✕✕✕

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e a im Punkt B

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ecke a

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b.

und

recke a eine


Lösungen

3 a) C(2,3 | 1,7) D(–3,7 | 1,7) e = 6,4 cm α = γ = 109° β = δ = 71°

b) A(–1,3 | 0,4) D(–1,3 | 5,4) e = 7,4 cm f = 11,1 α = γ = 115° β = 65°

Rauten konstruieren Seite 17

Individuelle Schülerlösungen

Drachenvierecke konstruieren Seite 18

� Fertige eine Planfigur an.

1. Zeichne die Diagonale f. Benenne die Eckpunkte mit D und B.

2. Nimm die Länge der Strecke b bzw. c in die Zirkelspanne. Stich in D und schlage einen Kreisbogen auf einer Seite von f. Stich in B und schlage einen Kreisbogen auf derselben Seite von f. Nenne den Schnittpunkt der Kreisbögen C. Verbinde C mit B, nenne die Strecke b. Verbinde C mit D, nenne die Strecke c.

3. Nimm die Länge der Strecke a bzw. d in die Zirkelspanne. Stich in D und schlage einen Kreisbogen auf der anderen Seite von f. Stich in B und schlage einen Kreisbogen auf derselben Seite von f. Nenne den Schnittpunkt der Kreisbögen A. Verbinde A mit D, nenne die Strecke d. Verbinde A mit B, nenne die Strecke a. Benenne die fehlenden Seiten.

4. Verbinde A und C, nenne die Diagonale e.

� Individuelle Schülerlösungen.

Rauten und Drachenvierecke konstruieren Seite 19

! a) A(2,5 | –1) b) A(1 | 0) c) A(–4,5 | 1,5)

@ a) A(0 | 2) b) A(–1,5 | –3) c) A(–2 | –0,5)

3 a) e = 9,1 cm f = 4,2 α = γ = 50° β = δ = 130°

b) e = 11,3 cm α = γ = 39° β = δ = 141°

c) e = 5 cm α = 100° β = δ = 93° γ = 74°

d) b = 2,4 cm α = γ = 115° β = 48° δ = 82°

Vermischte Übungen zu: Vierecke konstruieren Seite 20

� So konstruierst du Rechtecke und Quadrate.

1) Fertige eine Planfigur an. Das ist eine Skizze, in der du alles markierst, was du an bekanntenStücken gegeben hast.

2) Zeichne die erste Strecke (a) und benenne deren Punkte (A und B).3) Trage in dem ersten Punkt (A) der Strecke den rechten Winkel (90°) ab und zeichne den

Schenkel des Winkels.

4) Nimm die Seitenlänge der Seite d bzw. b in die Zirkelspanne. Stich in A ein und trage aufdem Schenkel ab. Markiere den Punkt D.

5) Trage in dem Punkt B den rechten Winkel (90°) ab und zeichne den Schenkel des Winkels.

6) Nimm die Seitenlänge der Seite b bzw. d in die Zirkelspanne. Stich in B ein und trageauf dem Schenkel ab. Markiere den Punkt C.

7) Verbinde nun noch C und D. Benenne alle Seiten.


d

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Übungen zu

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2 | –0,5)

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3 a) e = 9,1 c

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) A(1 | 0)

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e die Strec

n D und schauf derselbke d. Verbind

ge einee von f. N

binde C mit D

hlage einen Kn Seit


Lösungen

� 1) Zeichne die Seite a und benenne die Punkte A und B.

2) Zeichne unterhalb der Strecke einen beliebigen Punkt P.

3) Nimm eine beliebige Länge in die Zirkelspanne und schlage einen Kreisbogen um P, sodass zwei Schnittpunkte auf a entstehen.

4) Nimm eine beliebige Länge in die Zirkelspanne und schlage einen Kreisbogen um die beiden zuvor konstruierten Schnittpunkte. Es entstehen zwei neue Schnittpunkte. Verbinde diese Schnittpunkte. Die Gerade, die entstanden ist, ist die Senkrechte auf a.

5) Nimm nun die Höhe in die Zirkelspanne. Trage sie auf der Senkrechten ab, indem du in den Schnittpunkt der Senkrechten und der Gerade a stichst und nach oben hin einen Kreisbogen schlägst.

6) Nun konstruiere eine Senkrechte auf diese Senkrechte, die durch den eben entstandenen Punkt verläuft. Schlage in den Punkt mit dem Zirkel oberhalb und unterhalb von P einen Kreisbogen (gleicher Abstand). Die beiden Schnittpunkte brauchst du für Schritt 7.

7) Nimm eine beliebige Länge in die Zirkelspanne und schlage einen Kreisbogen um die beiden zuvor konstruierten Schnittpunkte. Es entstehen zwei neue Schnittpunkte.

8) Verbinde diese Schnittpunkte. Die Gerade, die entstanden ist, ist die Senkrechte auf die erste Senkrechte.

9) Nimm nun die Seitenlänge d in die Zirkelspanne. Stich mit dem Zirkel in A ein und trage auf die zweite Senkrechte ab. Nenne den Punkt D.

10) Nimm nun die Seitenlänge b in die Zirkelspanne. Stich mit dem Zirkel in B ein und trage auf die zweite Senkrechte ab. Nenne den Punkt C.

11) Verbinde nun A mit D und B mit C. Benenne alle Seiten.


Vermischte Übungen zu Vierecke konstruieren Seite 21

1 a) bis c) D

1(4 | 2,5) S

1(2,5 | 2,5)

D2(– 4,5 | 1,5) S

2(–2,8 | 1,8)

D3(0,5 | – 2,5) S

3(–2,5 | –1,5)

D4(2 | – 1) S

4(2 | –2).

2

3 a) e = 6,6 f = 5,1 cm α = 73° β = 89° δ = 28°

b) e = 11,3 cm ha = 3,8 cm α = γ = 141° β = δ = 39°

c) f = 6,3 cm α = 53° β = 99° γ = 109° δ = 99°

d) a = 4,4 cm e = 7,6 cm f = 5,6 cm ha = 4,8 cm α = 73° β = δ = 107

e) a = 4,2 cm e = 6 cm

3,8 cm

3 cm 2 cm

4 cm

✕✕

✕✕

✕

✕ ✕

✕

✕

✕ ✕

✕4,7 cm

3 cm

✕

✕

✕

✕

3,8 cm3,8 cm

✕✕

e zwei

D1(4 | 2,5)

D 4,5 | 1

D3

– 2,

D4(2 | – 1)

S

5) S

en zu Vierecke

|

enne

ons

anne.

lle Se

ch mit dem Z

en.

Zirkel in A e

rkel in B e

um d

rechte auf die

in und trag


Lösungen

Lernzielkontrolle zum Konstruieren 1 Seite 22

� a) Individuelle Schülerlösungen

b) Die beiden kürzeren Seiten zusammen müssen länger sein, als die dritte, längere Seite.

c) Die andere Art der Einteilung von Dreiecken erfolgt nach Winkeln. Hat ein Dreieck drei spitze Winkel (> 0° und < 90°), wird es als spitzwinkliges Dreieck bezeichnet. Hat das Dreieck einen rechten Winkel (90°), wird es auch rechtwinkliges Dreieck genannt. Hat das Dreieck einen stumpfen Winkel (> 90° und < 180°), nennt man es stumpfwinkliges Dreieck.

� a) bis b) Individuelle Schülerlösungen

c) Der Kreis heißt Umkreis.

d) Sein Mittelpunkt wird durch die Konstruktion der Mittelsenkrechten auf die Dreiecksseiten konstruiert.

� a) So konstruiert man eine Winkelhalbierende:

1.S

2.S

3.S

4.S

5.S

1. Zeichne einen beliebigen Winkel und kennzeichne den Scheitelpunkt mit S.

2. Nimm einen Zirkel, stich in den Scheitelpunkt und schlage einen Halbkreis um S, sodass auf beiden Schenkeln ein Schnittpunkt entsteht.

3. Verbinde die Schnittpunkte auf den Schenkeln miteinander.

4. Schlage um die beiden Schnittpunkte einen Halbkreis, sodass du eine Mittelsenkrechte auf die zuvor gezeichnete Strecke konstruieren kannst.

5. Verlängere die Mittelsenkrechte, bis sie im Scheitelpunkt des Winkels angelangt ist. Nun hast du eine Winkelsenkrechte konstruiert.

b) Man konstruiert hierzu eine Senkrechte auf eine Gerade. Senkrechte stehen immer im Winkel von 90° auf die Gerade.

� Individuelle Schülerlösungen, wobei die Winkelhalbierenden gezeichnet werden müssen, um den Inkreis konstruieren zu können.

� 1) unregelmäßiges Viereck

2) Trapez

3) Parallelogramm

4) Raute

5) Rechteck

6) Quadrat

7) Drachenviereck


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duelle Schüeren zu k

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2. NimSche

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4. Sch

ne einen bel

m einen Zirkenkeln ein S

bigen W

S

S

eckss


Lösungen


� a) Individuelle Schülerlösungen

b) Alle Winkel ergeben zusammen 180°.

c) Dreiecke kann man auf zwei unterschiedliche Arten einteilen. Eine Möglichkeit ist die Einteilung nach Seiten. Sind alle Seiten des Dreiecks gleich lang, spricht man von einem gleichseitigen Dreieck. Sind nun zwei Seiten gleich lang, wird das Dreieck gleichschenkliges Dreieck genannt. Haben alle Seiten unterschiedliche Längen, so spricht man von einem unregelmäßigen Dreieck.

� a) bis c) Individuelle Schülerlösungen

d) Der Kreis heißt Inkreis.

e) Sein Mittelpunkt wird durch die Konstruktion der Winkelhalbierenden der drei Winkel im Dreieck konstruiert.


� 1. Wähle eine Seite (im Beispiel c).Du gehst so vor, als wenn du eine Mittelsenkrechte auf eine Strecke konstruieren möchtest.

2. Du zeichnest aber nur den Schnittpunkt auf der Seite des Dreiecks ein.

3. Verbinde den Schnittpunkt mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks.

4.–5. Wiederhole 1.–3. mit der nächsten Dreieckseite (hier Seite a).

6.–7. Wiederhole 1.–3. mit der dritten Dreieickseite (hier Seite b).

8. Die Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt. Den Schnittpunkt der Seiten halbierenden nennt man auch Schwerpunkt (S) des Dreiecks.


Die Wahl wurde gelassen, weil die Konstruktionen bis auf die letzten Schritte sehr ähnlich sind. Sie unterscheiden sich dann nur in der Länge der letzten Seiten.


1 a) (1) B1(–0,9 | –6,3) (2) C

2(4 | 6,2)

b) a1 = 3,3 cm b

1 = 3,8 cm c

1 = 3,9 cm β

1 = 63°

b2 = 7,2 cm c

2 = 5,4 cm α

2 = 36° γ

2 = 48°

@ (1) Zeichne eine beliebige Sehne des Kreises.

(2) Zeichne zu dieser Sehne die Mittelsenkrechte.

(3) Zeichne eine weitere beliebige Sehne des Kreises (diese darf auch mit der ersten Sehne einen gemeinsamen Punkt auf der Kreislinie haben).

(4) Zeichne auch zu dieser Sehne die Mittelsenkrechte.

(5) Der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des Kreises.

3 a) r = 2,6 cm b) r = 3,1 cm

ichne e

Zeichne z

hne eine meinsam

c2

ne beliebige S

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= 3,8 cm

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Winke


Lösungen

4 a)

b) Gegeben waren b = 6 cm; c = 3,8 cm; β = 110° und γ = 70°.

c) Es handelt sich um ein Parallelogramm.


! Man kann ohne zu Messen einen Winkel von 45° konstruieren, indem man zu einer Geraden (oder Strecke) durch einem Punkt eine Senkrechte konstruiert und den dadurch erhaltenen 90°-Winkel dann halbiert. Oder man benutzt den Satz des Thales.

2 a) c = 9,3 cm α = 44° β = 24° γ = 112°

b) c = 6,1 cm α = 55° β = 41° γ = 84°

# Die Höhe in einem Dreieck ist der Abstand eines Eckpunktes von der gegenüberliegenden Seite. Da der Abstand die kürzeste Verbindung eines Punktes von einer Strecke ist, kann die Seitenhalbierende nie kleiner als die Höhe sein. Die Seitenhalbierende ist nur dann gleich groß wie die Höhe, wenn beide „aufeinander fallen“, also identisch sind, z. B. in einem gleichseitigen Dreieck.

4 a) r = 2,4 cm b) r = 1,1 cm

% a) Zwei Quadrate sind zueinander kongruent, wenn sie in einer Seite übereinstimmen.

b) Zwei Rauten sind zueinander kongruent, wenn sie in einer Seite und einem Winkel übereinstimmen.

c) Zwei Rechtecke sind zueinander kongruent, wenn sie in zwei nichtparallelen Seiten übereinstimmen.

A

B C

D

3,8 cm3,8 cm

6 cm

6 cm 110°

110°

70°

70°

✕ ✕

✕✕b

a

d

c

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Illustrationen: Cover © Stefan Lucas, Grafik in Infokästen © Julia Flasche

Satz: Satzpunkt Ursula Ewert GmbH

Bestellnr.: 23596DA4

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Geometrie – Inklusionsmaterial 4 - Persen · Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als