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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 1
Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)
Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /
9th Lecture / 9. Vorlesung
Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /
Informatik (FB 16)
Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115
D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René Markleinmarklein@uni-kassel.de
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
University of KasselDept. Electrical Engineering /
Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 2
FDTD and FIT / FDTD und FITFDTD : Finite Difference Time Domain / Finite Differenzen im ZeitbereichFIT : Finite Integration Technique / Finite Integrationstechnik
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FDTDMaxwell’s equations in differential form /
Maxwellsche Gleichungen in Differentialform
FITMaxwell’s equations in integral form /
Maxwellsche Gleichungen in Integralform
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FD approximation of spatial and temporal derivatives /
FD-Approximation von räumlichen und zeitlichen Ableitungen
FIT approximation of spatial and temporal integrals /
FIT-Approximation von räumlichen und zeitlichen Integralen
Central difference approximation / Zentrale Differenzen Approximation
Mid point rule approximation of a 1-D integral / Mittelpunktsregel-Approximation eines 1D-Integrals
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 3
Definition of Material Cells / Definition der Materialzellen
1x x3z x2y x 1x x
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 4
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
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Field component in the middle / Feldkomponente in der Mitte
Approximation error / Approximationsfehler
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 5
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 6
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
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Field component in the middle / Feldkomponente in der Mitte
Approximation error / Approximationsfehler
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 7
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 8
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
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integration cell / -Integrationszelle( )mxB
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integration cell / -Integrationszelle( )mxB
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 9
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
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integration cell / -Integrationszelle( )myB
I ( )myB
I
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 10
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
1x x3z x2y x
1x x
3z x2y x
integration cell / -Integrationszelle( )mzB
I ( )mzB
I
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integration cell / -Integrationszelle( )mzB
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 11
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 12
Dual-Orthogonal Grid System in Space /Dual-orthogonales Gittersystem im Raum
1x x3z x2y x
3-D / 3D
( )
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n
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( )ng G
G GPrimary grid / Secondary (dual) grid
Primäres Gitter Sekundäres (duales) Gitter
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G MPrimary grid / Material grid
Primäres Gitter Materialgitter
Global node numbering / Globale Gitternummerierung
( )nzE
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 13
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
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B t x z E t E t x E t E t z J t x zt
B t x y E t Et
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Local grid equations in local notation / Lokale Gittergleichungen in lokaler Notation
Local grid equations in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen in globaler Gitterknotennotation
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 14
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
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Local spatial shift operators / Lokale räumliche Schiebeoperatoren
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B t x z I S E t x S I E t z J t x zt
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Local grid equations in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen in globaler Gitterknotennotation
Local grid equations with local spatial shift operators in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen mit lokalen räumlichen Schiebeoperatoren in globaler Gitterknotennotation
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 15
3-D FIT – Local Spatial Shift Operators / 3D-FIT – Lokale räumliche Schiebeoperatoren
( )( ) ii
n MnMS f f
1. Simple spatial shift operation / Einfache räumliche Schiebeoperation
( ) ( )n nI f f
2. Identity operation / Identitätsoperation
3. Multiple shift operations / Zusammengesetzte Schiebeoperationen
( )( ) ( ) i j
i j j i
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Special case for / Speziell folgt für
i iM MS S I
j iM M j iM M
4. Local difference operator / Lokaler Differenzoperator
i iM MP I S
5. Local averaging operator / Lokaler Mittelungsoperator
1
2i iM MA I S
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3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
… in local matrix form / … in lokaler Matrixform
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B t y z S I E t y I S E t z J t y zt
B t x z I S E t x S I E t z J t x zt
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Local grid equations with local spatial shift operators in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen mit lokalen räumlichen Schiebeoperatoren in globaler Gitterknotennotation
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 17
3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local Matrix Form / 3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler Matrixform
( )
( )( ) ( )
( )
( )
( ) curl
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M M M M
M M M M
S I I S P P
I S S I P P
S I I S P P
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 18
3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local Matrix Form / 3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler Matrixform
( ) ( ) ( )m
d( ) curl ( ) ( )
dn n n
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3 3
( ) 3
Diagonal matrix of elementary surfaces on the grid /
Diagonalmatrix der Elementarflächen auf dem Gitter
Algebraic magnetic flux density vector /( )
Algebraischer magnetischer Flussdichten
GS
G
B t
3 3
3 3
vektor
Topological curl operator in matrix form on the grid /curl
Topologischer Rotationsoperator in Matrixform auf dem Gitter
Diagonal matrix of elementary lines on the grid /
Diagonalm
G
G
GR
( ) 3
( ) 3m
atrix der Elementarstrecken auf dem Gitter
Algebraic electric field strength vector /( )
Algebraischer elektrische Feldstärkevektor
Algebraic magnetic current density vector /( )
Algebrai
n
n
G
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scher magnetischer Stromdichtevektor
( )
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( ) ( )
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SE t J t
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Faraday’s induction law in local matrix form / Faradaysches Induktionsgesetz in lokaler Matrixform
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 19
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
1x x3z x2y x
( )nxE
( )nzB
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( )zn MyB
( )nzB
( )yn MzB
1x x3z x
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integration cell / -Integrationszelle( )mxE
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( )nyB
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( )y zn M Mm
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 20
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
( )
3 3
( ) ( , ) ( ) ( , ) d
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 21
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 22
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 23
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 24
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 25
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 26
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
1x x3z x2y x
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integration cell / -Integrationszelle( )mzE
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 27
3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 28
3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local Matrix Form / 3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler Matrixform
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 29
3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local Matrix Form / 3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler Matrixform
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Diagonalmatrix der Permittivitäten auf dem Gitter
Diagonal matrix of elementary surfaces on the grid /
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3 3
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Diagonal matrix of impermeabilities on the grid /
Diagonalmatrix der Impermeabilitäten auf dem Gitter
Diagonal matrix of elementary lines o
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n the grid /
Diagonalmatrix der Elementarstrecken auf dem Gitter
Algebraic magnetic flux density vector /( )
Algebraischer magnetischer Flussdichtevektor
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Algebraischer elektrischer Stromdichtevektor
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 30
3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local and Global Matrix Form /
3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler und globaler Matrixform
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Discrete grid equations in local matrix form / Diskrete Gittergleichungen in lokaler Matrixform
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Discrete grid equations in global matrix form / Diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform
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B R dS E R dR J R dS
ε R E R dS ν R B R dR J R dS
Maxwell’s equations in integral form / Maxwellsche Gleichungen in Integralform
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - L 9 / V 9 - WS 2006 / 2007 31
End of Lecture 9 /Ende der 9. Vorlesung
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