Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 01.12.2006 Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 01.12.2006 1

Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)

Vorlesung am 01.12.2006

Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik

FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)

Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Marklein

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Beispiel 2.27: Analyse eines zweimaschigen Netzes mit einer Spannungsquelle

U4 für Sonderfall R1 = R3 und R2 = R4

Lösung:

Gegeben:

Nebenstehende Schaltung in Bild 2.85 mit UQ und alle Widerstände.

Gesucht:

1I 3I1R 3R

4R2R 4UQU

Bild 2.85. Zweimaschiges Netz mit einer Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 93, 2005])

vollständiger Baum

unabhängige Ströme

AM BM AM BM

2

1 3

1I 3I1R 3R

4R2R 4UQU


4 3 4

3 ?U I RI

Bestimmung über Umlaufanalyse

Graph:



1 2 2 1A Q

2 2 3 4 3B

Masche : Masche : 0

R R R IM UR R R R IM

Lösung:

1I 3I1R 3R

4R2R 4UQU


vollständiger Baum


AM BM AM BM

2

1 3Zweig mit ( R2 = 2) wird vollständiger Baum ( K = 2)!(V = Z - K + 1 = 3 - 2 + 1 = 2 linear unabhängige Umlaufgleichungen.)

Hauptdiagonalelemente der Widerstandsmatrix sind die Umlaufwiderstände des zu dem jeweiligen Strom gehörigen Umlaufs. Der Umlaufwiderstand ist die Summe aller Widerstandswerte in allen Zweigen, die den aktuellen Umlauf bilden. Im Umlauf MA gilt R1 + R2 und im Umlauf MB gilt R2 + R3 + R4.

Nebendiagonalelemente sind die Kopplungswiderstände: positives Vorzeichen, wenn Umlaufströme, die der Widerstand verknüpft, im Widerstand gleichgerichtet sind, sonst negativ. Hier in beiden Umläufen negativ, also -R2, da die Umlaufströme in MA und MB im Mittelzweig entgegengesetzt gerichtet sind.

R I U



1 2 2 1A Q

2 2 3 4 3B

:: 0R R R IM UR R R R IM

Lösung:

1I 3I1R 3R

4R2R 4UQU

vollständiger Baum


AM BM AM BM

2

1 3

1 2 1 2 3 QA

2 1 2 3 4 3B

: 0: R R I R I UM

R I R R R IM

1 1 2 1 3 QA

2 3 1 3 4 3B

: 0:

R I R I I UMR I I R R IM

2I

2 3 1I I I

3 1

3 1

A 1 1 2 2 Q

B 2 2 3 4 3

:

: 0I I

I I

M R I R I U

M R I R R I

A 1 1 2 2 Q

B 2 2 3 4 3

: 0: 0

M R I R I UM R I R R I

Matrixgleichung = Lineares Gleichungssystem (LGS)in Matrixform

Zwei separate Umlaufgleichungen:

= LGS der Umlaufgleichungen

Knotengleichung



11 12 1 1

21 22 2 2

A A x bA A x b

Bemerkung: Es gilt für die Matrix-Vektor-Multiplikation:

11 12 1 1

21 22 2 2

A A x bA A x b

11 1 12 2 1A x A x b

11 12 1 1

21 22 2 2

A A x bA A x b

21 1 22 2 2A x A x b

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

A x A x bA x A x b

A x b

11 12

21 22

1

2

1

2

quadratische 2 2-Matrix

(z.B. Widerstandsmatrix )

Spaltenvektor der Länge 2 Lösungsvektor

(z.B. Stromvektor )

Spaltenvektor der Läng

A AA A

xx

bb

AR

xI

b

e 2 Ergebnisvektor (z.B. Spannungsvektor )U

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

A x A x bA x A x b

Ausmultiplikationergibt:

1. Zeile:

2. Zeile:

Matrix-Vektor-Multiplikation



1 2 2 1A Q

2 2 3 4 3B

Masche : Masche : 0

R R R IM UR R R R IM

11 2 2 Q

32 1 22 0IR R R UIR R R

Mit R1 = R3 und R2 = R4

Überprüfung: Widerstandsmatrix [R] ist symmetrisch, d.h. Rij = Rji!

I1 eliminieren: obere Gl. mal R2 , untere Gl. mal ( R1 + R2 )

1 2 3 Q1 2

2 1 31 2 02

I R I UR R

R I IR R

22 1 2 3 2 Q1 2

2 1 31 2 1 2 1 2 02

R I R I R UR R

R I IR R R R R R

22 1 2 3 2 1 3 2 Q1 2 1 2 1 2 1 22R I R I R I I R UR R R R R R R R

und dann addieren

oder



2 23 1 1 2 2 2 Q

23 Q2 2

1 1 2 2

3

3

I R R R R R U

RI UR R R R

(mit R2 = R4 laut Aufgabenstellung)

2 11 2R IR R 22 3 2 11 2R I R IR R

3 2 Q1 2 1 2

2 2 22 3 3 2 Q1 1 2 1 2 2

2 2 23 2 Q2 1 1 2 1 2 2

2 23 2 Q1 1 2 2

2

2 2

2 2

3

I R UR R R R

R I I R UR R R R R R

I R UR R R R R R R

I R UR R R R

4 3 4

3 2

U I RI R

22

4 Q2 21 1 2 23

RU UR R R R



11 2 2 Q

32 1 22 0IR R R UIR R R

Berechnung des gesuchten Strom I3 mit Hilfe der Cramerschen Regel

23DID

mit den Determinanten

1 2 2

2 1 2

1 2 2

2 1 2

1 2 1 2 2 2

2 2 21 1 2 2 1 2 2

2 21 1 2 2

det{ }

det2

2

2

2 2

3

D

R R RR R R

R R RR R R

R R R R R R

R R R R R R R

R R R R

R

1 2 Q2

2

1 2 Q

2

Q1 2 2

2 Q

det0

0

0

R R UD

R

R R UR

UR R R

R U

Dann gilt für den gesuchten Strom I3

2 Q2 23 Q2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 23 3R UD RI U

D R R R R R R R R

4 3 4

3 2

U I RI R

(mit R2 = R4 laut Aufgabenstellung)

22

4 Q2 21 1 2 23

RU UR R R R

deta b a b

Dc d c d

a b a b a bad cb

c d c d c d

Bemerkung: Berechnung der Determinanteeiner allgemeinen 2x2-Matrix:

(+)

(-)



1I 3I1R 3R

4R2R 4UQU


Vollständiger Baum


AM BM AM BM

2

1 3

Graph:

1I1R 3R

4R2R 4UQU

vollständiger Baum

AU BM AU BM

2

1 3

Graph:

2I

Alternativer Baum:unabhängige Ströme

3I

abhängiger Strom



1I1R 3R

4R2R 4UQU


AU BM AU BM

2

1 3

Graph:

1 3 4 3 4A 1 Q

3 4 2 3 4B 2

Umlauf : Masche : 0

R R R R RU I UR R R R RM I

2I

3 1 2I I I

1 21 2; D DI I

D D

I3 abhängiger Strom: Es gilt über die Knotengleichung (1. Kirchhoffsches Gesetz)

Die beiden Ströme I1 und I2 bestimmt man über die Cramersche Regel:

3I

abhängiger Strom

I3 nicht mehr direkt berechenbar! Nachteil des gewählten Baumes!

Vollständiger Baum

R I U



21 3 4 3 4 1 3 4 3 41 3 4 2 3 4 3 4

3 4 2 3 4 3 4 2 3 4

Q 3 4 Q 3 41 Q 2 3 4

2 3 4 2 3 4

1 3 4 Q2

3 4

det

det0 0

det0

R R R R R R R R R RD R R R R R R R R

R R R R R R R R R R

U R R U R RD U R R R

R R R R R R

R R R UD

R R

Q 3 4U R R

Q 2 3 411 2

1 3 4 2 3 4 3 4

Q 3 422 2

1 3 4 2 3 4 3 4

3 1 2

Q 2 3 4 Q 3 42 2

1 3 4 2 3 4 3 4 1 3 4 2 3 4 3 4

2Q2

1 3 4 2 3 4 3 4

U R R RDID R R R R R R R R

U R RDID R R R R R R R R

I I I

U R R R U R R

R R R R R R R R R R R R R R R R

R UR R R R R R R R



23 Q2

1 3 4 2 3 4 3 4

2Q2

1 2 2 1 1 2

2Q2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

2Q2 2

1 1 2 2

2 2

2 5 2 2

3

RI UR R R R R R R R

R UR R R R R R

R UR R R R R R R R

R UR R R R

R1 = R3 und R2 = R4

4 3 4

3 2

U I RI R

22

4 Q2 21 1 2 23

RU UR R R R


Beispiel 2.28: Netz mit zwei Stromquellen

Aufgabe wie Beispiel 2.24!

Gegeben:

Alle Widerstände und Quellströme IB, IC

Aufgabe:

Strom I1 allgemein und für IB = 4 AIC = 1 A

CI3R

1

CU BU

R R

6RBI

R

3I 1I

2I

3

Bild 2.68. Netz mit zwei Stromquellen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 78, 2005])

Lösung:

1. Stromquellen in Spannungsquellen umwandeln und dann Umlaufanalyse durchführen!

oder

2. Man kann aber auch einfach folgendermaßen vorgehen: die Stromquellen werden in Verbindungszweige gelegt, und bei der Aufstellung des Gleichungssystems für die

unabhängigen Ströme werden die Quellenströme IB, IC ebenso behandelt wie andere unabhängige Ströme

auch.



CI3R

1

CU BU

R R

6RBI

R

3I 1I

2I

3

Bild 2.68. Netz mit zwei Stromquellen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 78, 2005])

Lösung:

IB,IC,I1,I3

IB,I1

IC,I3

Den vollständigen Baum so wählen, dass dieStromquellen in Verbindungszweigen liegen!

1

3

B B

C C

08 2 Masche 105 2 Masche 3

2 2 Umlauf

2 2 Umlauf

IR R R RIR R R RI UR R R R BI UR R R R C

3 1

CB



1 3 B C, , ,I I U UUnbekannte:

Bekannte Quellströme IB und IC auf rechten Seite ziehen:

1

3

B B

C C

08 2 Masche 105 2 Masche 3

2 2

2 2

IR R R RIR R R RI UR R R RI UR R R R

1

3

2825

B C

B C

I R I IR RI R I IR R

1 3 B C

1 3 B C

8 25 2

I I I II I I I

durch R dividieren:

1 3 B C

1 3 B C

1 B C

40 5 10 55 2

39 9 3

I I I II I I II I I

1 B C13 3I I I

I3 eliminieren: oben *5 auf untere addieren:

B C1

313

3 4A 1A13

1A

I II

1 B C39 9 3I I I

1

3

B

C

8 2 0 Masche 1

5 2 0 Masche 3

IIR R R RIR R R RI

1 3 B C

1 3 B C

1 3 B C

1 3 B C

8 2 05 2 0

8 25 2

RI RI RI RIRI RI RI RI

RI RI RI RIRI RI RI RI

1 B C

3 B C

28 Masche 1

25 Masche 3I R I IR RI R I IR R


Beispiel 2.29: Analyse eines symmetrischen dreimaschigen Netzes

QAB 10 Ω

UR

I Gesucht: R5 ? für

Gegeben:

Bild 2.87. Unabgeglichene Brücke (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 95, 2005])

I

5 ?R QU

4Ω 20Ω

20Ω 4Ω

A

B

2I

3I

ABR



Lösung:

A 5 5 5 Q

B 5 5 5 2

C 5 5 5 3

Umlauf : 8Ω 4Ω 4ΩMasche : 4Ω 24Ω 0Masche : 4Ω 24Ω 0

U R R R I UM R R R IM R R R I

Bild 2.87. Unabgeglichene Brücke (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 95, 2005])

I

5RQU

4Ω 20Ω

20Ω 4Ω

A

B

2I

3I

AUCM

BM



Lösung:

2 3 24Ω 24Ω I I

5 5 5 Q2

5 5 53

8Ω 4Ω 4Ω4Ω 24Ω 0

IR R R U

IR R R

I

3. Gleichung von 2. Gleichung abziehen, eliminiert I:

A 5 5 5 Q

B 5 5 5 2

C 5 5 5 3



2 3I I

5 5 2 5 3

5 5 2 5 3

2 3

4Ω 24Ω 0( ) 4Ω 24Ω 0

0 24Ω 24Ω 0

R I R I R IR I R I R I

I I

A 5 5 5 Q

B 5 5 5 2

C 5 5 5 3



Damit kann die 3. Zeile aus dem Gleichungssystem gestrichen werden

Es folgt also



Lösung:

5 5 5 Q2

5 5 53

8Ω 4Ω 4Ω4Ω 24Ω 0

IR R R U

IR R R

I

5 5 Q

5 5 2

8Ω 8Ω 24Ω 24Ω 2 0

R R I UR R I

5 5 5 Q2

5 5 52

8Ω 4Ω 4Ω4Ω 24Ω 0

IR R R U

IR R R

I

5 5 2 5 2 Q

5 5 2 5 2

8Ω 4Ω 4Ω4Ω 24Ω 0

R I R I R I UR I R I R I

5 5 2 Q

5 5 2

8Ω 8Ω 24Ω 24Ω 2 0

R I R I UR I R I

Mit I2 = I3 folgt dann

beziehungsweise in zwei Gleichungen ausgeschrieben

und nach Zusammenfassung der 2. und 3. Spalte

oder wieder in Matrixform



Lösung:

52

5

4Ω24Ω 2

RI IR

55 5 Q

5

4Ω8Ω 8Ω 2

24Ω 2R

R I R I UR

5 5 5 5 5 Q

2 2 2 25 5 5 5 Q 5

25 Q 5

8Ω 12Ω 4Ω 4Ω 2 12Ω

96Ω 20Ω 16Ω 8Ω 12Ω

80Ω 12Ω 12Ω

R R I R R I R U

R R I R R I U R

R I U R

Q 2AB 5 AB 5 80Ω 12Ω 12Ω

UR R R R

I

AB5

AB

4 Ω 3 20 Ω 4 Ω 30 20 Ω20 Ω

12 Ω 12 Ω 10 ΩR

RR

I2 in 1. Gl. durch Einsetzen von I2 aus 2. Gl. eliminieren, d.h. es folgt aus 2. Gl.

5 5 2 Q

5 5 2

8Ω 8Ω 24Ω 24Ω 2 0

R I R I UR I R I

und diese Beziehung in 1. Gl. eingesetzt ergibt

10Ω


Ende der Vorlesung

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