Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 11 / Vorlesung 11 - WS 2005 / 2006 1 Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I) Numerische Methoden

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 11 / Vorlesung 11 - WS 2005 / 2006 1

Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)

Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /

11th Lecture / 11. Vorlesung

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /

Informatik (FB 16)

Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

University of KasselDept. Electrical Engineering /

Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein


FD Method – Properties / FD-Methode - Eigenschaften

Spatial and Temporal Discretization / Räumliche und zeitliche Diskretisierung

Consistency / Konsistenz

Dispersion / Dispersion

Stability Condition / Stabilitätsbedingung

Convergence / Konvergenz

?

?

z

t

( )t f z


Analytical and Numerical Dispersion Relation Analytische und Numerische Dispersionsrelation

where kz is the z component of the wave vector k / wobei kz die z-Komponente des Wellenvektors k ist

where kz is the z component of the wave vector k / wobei kz die z-Komponente des Wellenvektors k ist

Dispersion relation for a plane wave propagation in 1-D und 3-D: /

Dispersionsrelation für die Ausbreitung einer ebenen Welle in 1D und 3D

0

0

j0 0

j0 0

ˆ1D: ( , ) ( , ) e

ˆ3D: ( , ) ( , ) e

zt k zx

t

E z t E

t E

k R

k

E R k

1D:

3D: z z

x y zx y z

k

k k k

k e

k e e e

2

2 2 2

1D:

3D:

z z

x y z

k k k

k k k k

k k k

k k k

with magnitude / mit dem Betragwith magnitude / mit dem Betrag

2 2

2 2 20

2

2 20

1( , ) ( , ) 0

1( , ) ( , ) 0

x xE z t E z tz c t

t tc t

E R E R

Insert the plane wave ansatz into the scalar 1-D and vector 3-D wave equation / Setze den ebenen Wellenansatz in die skalare 1D und vektorielle 3D Wellengleichung

ein

Insert the plane wave ansatz into the scalar 1-D and vector 3-D wave equation / Setze den ebenen Wellenansatz in die skalare 1D und vektorielle 3D Wellengleichung

ein


Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema

2ter Ordnung

2 2 2 2

0

k k k =k

k k k k

x z z zx z z z

x y z z zk k

kc

k e e e e

k k k

Wave vector / Wellenvektor

Magnitude of the wave vector /Betrag des Wellenvektors

Wavenumber /Wellenzahl

Circular freque

0 02

sgn

(k ) kk sgn(k )ˆ sgn(k )k

ˆ sgn(k ) (

z zz zzz zz z

z

z z

f

k

k k

k k

ee ek

k

ek

k R e

ncy /Kreisfrequenz

Propagation direction /Ausbreitungsrichtung

Phase of the plane wave /Phase der ebenen Welle ) sgn(k ) sgn(k )z zx z z z zx y z k z k z e e e e e

Complex Monofrequent (monochromatic) plane wave in the time domain /Komplexe monofrequente (monochromatische) ebene Welle im Zeitbereich

0

0

ˆj0 0

ˆj j0 0

ˆ( , ) ( , ) e

ˆ( , ) e e

t kx

t k

E t E

E

k R

k R

R k

k

k̂

R

ˆ const.k R

Plane of constant phase /Ebene konstanter Phase



0 0

0 0

0

2 2

2 2 20

2 2j j

0 0 0 02 2 20

j j2 20 0 0 0 02

0

2j2 0

0 020

1( , ) ( , ) 0

1ˆ ˆ( , ) e ( , ) e 0

1ˆ ˆ(j ) ( , ) e (j ) ( , ) e 0

ˆ( , ) e 0

z z

z z

z

x x

t k z t k z

t k z t k zz

t k zz

E z t E z tz c t

E Ez c t

k E Ec

k Ec

k k

k k

k

We compute / Wir berechnenWe compute / Wir berechnen

Dispersion relation / Dispersionsrelation


22 2 0

20

zk kc

Dispersion relation of a monochromatic plane wave / Dispersionsrelation einer monochromatischen ebenen Welle


00 0 0 0

0

( ) ( )k k c k k c kc



0 0

0 0

0

2

2 20

2j j

0 0 0 02 20

j j2 2 2 2 20 0 0 0 02

0

2j2 2 2 0

0 020

1( , ) ( , ) 0

1ˆ ˆ( , ) e ( , ) e 0

1ˆ ˆj ( ) ( , ) e (j ) ( , ) e 0

ˆ( ) ( , ) e 0

t t

t tx y z

tx y z

t tc t

E Ec t

k k k E Ec

k k k Ec

k R k R

k R k R

k R

E R E R

k k

k k

k

We compute in the 3-D case / Wir berechnen im 3D-FallWe compute in the 3-D case / Wir berechnen im 3D-Fall



22 2 2 2 0

20

x y zk k k kc

00 0 0 0

0

( ) ( )k k c k k c kc





0

0 0

( )k kc c

Dispersion relation for a plane wave / Dispersionsrelation für eine

ebene Welle

Dispersion relation for a plane wave / Dispersionsrelation für eine

ebene Welle

0( )k k c

This means that the circular frequency is a function of k / Dies bedeutet, dass die Kreisfrequenz eine Funktion von k ist

This means that the circular frequency is a function of k / Dies bedeutet, dass die Kreisfrequenz eine Funktion von k ist

We define now / Wir definieren nun:

• Phase velocity / Phasengeschwindigkeit

• Phase velocity vector / Phasengeschwindigkeitsvektor

• Group or energy velocity / Gruppen- oder Energiegeschwindigkeit

• Group or energy velocity vector / Gruppen- oder Energiegeschwindigkeitsvektor

We define now / Wir definieren nun:





Dispersion relation / DispersionsrelationDispersion relation / Dispersionsrelation

( )k


Dispersion Relation and Phase, Group, and Energy Velocities / Dispersionsrelation und Phasen-, Gruppen- und

Energiegeschwindigkeiten

Dispersion relation / DispersionsrelationDispersion relation / Dispersionsrelation ( )k









ph( )

( , )k

c kk

ph

ph

( ) ˆ1D: ( , ) sgn( )

( ) ˆ3D: ( , )

zk

k kkk

kk

c k

c k

gr E

gr E

1D: ( , ) ( , ) ( )

3D: ( , ) ( , ) ( )

dc k c k k

dk

c c k

kk k

gr E

gr E

ˆ1D: ( , ) ( , ) ( )

3D: ( , ) ( , ) ( )

dk k k

dkk

k

c c k

c k c k

x y zx y zk k k

k e e eGradient with regard to the wave vector k / Gradient bezüglich des Wellenvektors k

Gradient with regard to the wave vector k / Gradient bezüglich des Wellenvektors k


Dispersion Relation and Phase, Group, and Energy Velocities for a Monochromatic Plane Wave / Dispersionsrelation und Phasen-,

Gruppen- und Energiegeschwindigkeiten für eine monochromatische ebene Welle

Dispersion relation for a monochromatic plane wave / Dispersionsrelation für eine monochromatische ebene Welle

Dispersion relation for a monochromatic plane wave / Dispersionsrelation für eine monochromatische ebene Welle

0( )k kc









0ph 0

( )( , )

kckc k c

k k

0ph

0ph

( )1D: ( , ) sgn( ) sgn( )

( ) ˆ ˆ3D: ( , )

z zk

k k c kkk

k ck

c

c k k

gr E 0 0

gr E 0 0

1D: ( , ) ( , ) ( )

3D: ( , ) ( , ) ( )

d dc k c k k kc c

dk dk

c c k kc c

k kk k

0gr E

0gr E

ˆ ˆ1D: ( , ) ( , ) ( )

ˆ3D: ( , ) ( , ) ( )

dk k k c

dk

k c

k

c c k k

c k c k k



2 2 20 0

2 2 20

2 2 20

0 2 2 2 2 2 2

22 21 1 1

2 2 2

x y zx y z

x y zx y zx y z

x y zx y zx y z

x y zx y zx y z

y yx zx

x y z x y z

k k k

kc k k k ck k k

k k k ck k k

c k k kk k k

kk kc

k k k k k k

k

k

e e e

e e e

e e e

e e e

ee2 2 2

0 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 2 2 2

0ˆ

z

x y z

y yx zx z

x y z x y z x y z

x y zx y z

x y z

k k k

kk kc

k k k k k k k k k

k k kc

k k k

c

e

ee e

e e e

k


Numerical Dispersion Relation / Numerische Dispersionsrelation

2 2 2 202 2 2 2

0

2 2 202 2 2

0

2 02

0

3-D cse 1 1 1 1sin sin sin sin

3D-Fall 2 2 2 2

2-D cse 1 1 1sin sin sin

2D-Fall 2 2 2

1-D cse 1sin

1D-Fall 2

yx z

yx

k yt k x k z

x y zc t

k zt k x

x yc t

t

c t

2

2

1sin

2xk x

x

2 2 20 2 2 2

20 2

3-D cse 2 1 1 1, , , , , , arcsin sin sin sin

3D-Fall 2 2 2

2-D cse 2 1 , , , , arcsin sin

2D-Fall 2

yx zx y z

xx y

k yk x k zk k k x y z t c t

t x y z

k xk k x y t c t

t x

22

20

1sin

2

1-D cse 2 , , arcsin sin

1D-Fall 2

y

xx

k y

y

c t k xk x t

t x

Numerical dispersion relation for the FD, FDTD, and FIT algorithms / Numerische Dispersionsrelation für die FD-, FDTD- und FIT-Algorithmen

Numerical dispersion relation for the FD, FDTD, and FIT algorithms / Numerische Dispersionsrelation für die FD-, FDTD- und FIT-Algorithmen


Numerical Dispersion Relation / Numerische Dispersionsrelation

01-D case 2 , , arcsin sin

1D-Fall 2x

xk xc t

k x tt x

0

2 2

2

2

x

x

x

c tt

xf

k kc c

k

Gx k x

01-D case 2 , , arcsin sin

1D-Fall 2

2arcsin sin

xx

tG

k xc tk x t

t x

tt G


1-D Numerical Dispersion Relation / 1D Numerische Dispersionsrelation

02, , arcsin sin

2

2, , arcsin sin

xx

x

k xc tk x t

t x

k x t tt G

ph

0

,arcsin sin

c G t Gt

c Gt

gr

20 2

cos,

1 sin

c G t Gc

tG

Numerical phase velocity / Numerische PhasengeschwindigkeitNumerical phase velocity / Numerische Phasengeschwindigkeit

Numerical group velocity / Numerische GruppengeschwindigkeitNumerical group velocity / Numerische Gruppengeschwindigkeit

Numerical dispersion relation / Numerische DispersionsrelationNumerical dispersion relation / Numerische Dispersionsrelation






1-D Numerical Dispersion Relation – Magic Time Step / 1D Numerische Dispersionsrelation – Magische

Zeitschrittweite

1t

ph

0

,arcsin sin arcsin sin 1

c G t G G Gt

c G G Gt

gr

20 2 2 2 2

cos cos cos cos cos,1

cos1 sin 1 sin cos cos

c G t G G G G Gc

tGG G G G

Numerical phase velocity / Numerische PhasengeschwindigkeitNumerical phase velocity / Numerische Phasengeschwindigkeit

Numerical group velocity / Numerische GruppengeschwindigkeitNumerical group velocity / Numerische Gruppengeschwindigkeit

No numerical dispersion / Keine numerische DispersionNo numerical dispersion / Keine numerische Dispersion!!


1-D Numerical Dispersion Relation – Magic Time Step / 1D Numerische Dispersionsrelation – Magische

Zeitschrittweite


Numerical Dispersion – Test Function / Numerische Dispersion – Testfunktion

Time History of the RC2, RC4, and RC8 Excitation Function / Zeitfunktion des RC2-, RC4- und RC8-

Anregungsimpulses

Time History of the RC2, RC4, and RC8 Excitation Function / Zeitfunktion des RC2-, RC4- und RC8-

Anregungsimpulses

Time Spectrum of the RC2, RC4, and RC8 Excitation Function / Zeitspektrum des RC2-, RC4- und RC8-

Anregungsimpulses

Time Spectrum of the RC2, RC4, and RC8 Excitation Function / Zeitspektrum des RC2-, RC4- und RC8-

Anregungsimpulses


Numerical Dispersion of an RC2 Pulse / Numerische Dispersion eines RC2-Impulses

Second Order Scheme in Space and Time (2S2T) / Schema zweiter Ordnung im Raum und in der Zeit

(2S2T)

Fourth Order Scheme in Space und Second Order Scheme in Time (4S2T) / Schema vierter Ordnung im

Raum und zweiter Ordung in der Zeit (4S2T)


(2S2T)


Raum und zweiter Ordnung in der Zeit (4S2T)

Original RC2 Pulse / Originaler RC2-Impuls

Strong dispersion / Starke Dispersion

Less dispersion / Weniger

Dispersion




(2S2T)




(2S2T)




Little dispersion / Wenig Dispersion

Less dispersion / Weniger

Dispersion




(2S2T)




(2S2T)





2-D Numerical Dispersion Relation – Numerical Anisotropy / 2D Numerische Dispersionsrelation – Numerische Anisotropie








?

?

z

t

( )t f z


Derivation of the Numerical Dispersion Relation for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der numerischen Dispersionsrelation für das 1D-FD-Schema

2ter OrdnungStability by the von Neumann’s method

(Fourier series method):

Insert a complex monofrequent (monochromatic) plane wave into the discrete FD equations and analyze the spectral radius of the amplification

matrix, where the spectral radius must be smaller equal one.

Stabilität durch die von Neumannsche Methode(Fourier-Reihen-Methode):

Setze eine komplex monofrequente (monochromatische) ebene Welle in die diskreten FD-Gleichungen ein und analysiere den spektralen Radius der Verstärkungsmatrix, wobei der spektrale Radius kleinergleich Eins

sein muss.Complex monofrequent (monochromatic) plane wave

/Komplex monofrequente (monochromatische) ebene

Welle

0

0

ˆj0 0

ˆj j0 0

ˆ( , ) ( , ) e

ˆ( , ) e e

t kx

t k

E t E

E

k R

k R

R k

k

FD FD( 1) ( )1D 1D

:t tn n W G W G Amplification matrix /Verstärkungsmatrix

FD FD1D 1D

1 G Gof the matrix /Spectral radius /Spektraler Radius der Matrix

FD FD FD FD1D 1D 1D 1D1. .

where max / -w obe :i n nn N

nn

G G G Gth eigenvalue of the matrix

ter Eigenwert der Matrix








?

?

z

t

( )t f z



ConsistencyConsistency means that the discrete equations result in

the analytical equations by calculating the limit {Δz, Δt} → 0.

We can prove the consistency of the 1-D FD scheme using the above numerical dispersion relation. We show, that the grid dispersion relation reaches in the limit {Δz, Δt} → 0 the analytical dispersion relation for a

plane wave as a solution of the homogeneous Helmholtz equation.

KonsistenzKonsistenz bedeutet, dass die diskreten Gleichungen bei dem

Grenzübergang {Δz, Δt} → 0 in die analytischen Gleichungen übergehen.

Wir können die Konsistenz des 1D-FD-Schemas anhand der numerischen Dispersionsrelation überprüfen. Wir zeigen, dass die numerische Dispersionsrelation bei dem Grenzübergang {Δz, Δt} → 0 in die

analytische Dispersionsrelation einer ebene Welle als Lösung der homogenen Helmholtz-Gleichung übergeht.



0

{ , } 0 0

k1 1lim sin sin

2 2z

z t

zt

c t z

0 0

0

0

lim sin2 2

k klim sin

2 2

t

z z

z

t t

z z

0

0

0

0

0

0

k1 1

2 2

k

k

z

z

k

z

zt

c t z

c

k

2 20

2 2{ , } 00

k1 1lim sin sin

2 2z

z t

t z

zc t








?

?

z

t

( )t f z



ConvergenceThe importance of the concept of consistency and stability is seen in the

Lax-Richtmyer equivalence theorem, which is the fundamental theorem in the theory of finite difference schemes for initial value problems.

Lax-Richtmyer Equivalence TheoremA consistent finite difference scheme for a partial differential equations of which the initial value problem is well-posed is convergent if and only if it

is stable.

KonvergenzDie Wichtigkeit des Konzeptes der Konsistenz und Stabilität kann man an

dem Lax-Richtmyer-Äquivalenztheorem sehen, welches ein fundamentales Theorem in der Theorie der Finite Differenzen zur Lösung eines

Anfangswertproblems darstellt.

Lax-Richtmyer ÄquivalenztheoremEin konsistentes Finite Differenzen Schema für eine partielle

Differentialgleichung eines gut gestellten Anfangswertproblems ist konvergent, wenn und nur wenn es stabil ist.


End of Lecture 11 /Ende der 11. Vorlesung

Documents

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 11 / Vorlesung 11 - WS 2005 / 2006 1 Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I) Numerische Methoden