Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 19.12.2005 1 Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I) Vorlesung am 19.12.2005 Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603

Dr.-Ing. René Marklein - GET I - WS 06/07 - V 19.12.2005 1

Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)

Vorlesung am 19.12.2005

Di. 13:00-14:30 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)

Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik

FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)

Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René Marklein

E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de

URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html


3.2 Die elektrische Feldstärke und die Potentialfunktion (S. 154, CW, 6. Aufl.)

3.2.1 Das Coulombsche Gesetz (S. 154, CW, 6. Aufl.)

1 2e e 2

Q QF k

r

01 2e e 2

Q QF k r

r

Kraftvektor

(mit Angabe der Kraftrichtung)

Aus dem Experiment: (Coulomb-)Kraft oder elektrische Kraft, die die Ladung Q1 auf die Ladung Q2 ausübt:

Betrag der Kraft

0r

29e

19 10 Nm/ As

4k

Einheitsvektor (Länge 1) von Q1 auf die Ladung Q2 gerichtet

Konstante, materialabhängig

Materialparameter: Permittivität (veraltet: Dielektrizitätskonstante)

Vektorpfeil0r

1Q

2Qr

0 0; | | 1| |

rr r

r

44444444444444

Bild 3.5. Zum CoulombschenGesetz(vgl. Bild 3.5. in Clausert & Wiesemann [Bd. 1, S. 154,2005])

0

1 2e 24

Q Q rF

r

44444444444444

(3.2)Coulombsches Gesetz:

Charles Augustin Coulomb (* 14. Juni 1736 in Angoulême,† 23. August 1806 in Paris) war ein französischer Physiker undbegründete die Elektrostatik sowie die Magnetostatik.

r Abstand zischen den beiden Ladungen

eF44444444444444

Einheitsvektorder Betrag ist Eins,der Einheitsvektorhat die Länge Eins!

(3.1)



1 2e e 2

Q QF k

r (3.2)Coulombsches Gesetz:

(Coulomb-)Kraft oder elektrische Kraft, die die Ladung Q1 auf die Ladung Q2 ausübt:

1 2g 2

M MF

rGravitationskraft:

Gravitationskraft, die die Masse M1 auf die Masse M2 ausübt:

Beispiel: Wasserstoffatom: 1 Proton und 1 Elektron

2

2e 2e 39e

g2

elektrische Kraft10

Gravitationskraft p e p e

ekF k erm mF m m

r

11 2 26,67 10 N m / kg

29e

19 10 Nm/ As

4k

Gravitationskonstante:

191 2

311

272

Elementarladung : 1,602 10 As

Ruhemasse eines Elektrons: 9,1083 10 kg

Ruhemasse eines Protons: 1,67239 10 kg

e

p

Q Q e

M m

M m

Verhältnis der Kräfte:

ee

empm

Erstaunlich! Die elektrischeKraft ist um den Faktor 10 hoch39 größer als die Gravitationskraft!

Wasserstoffatom



e 39

g

elektrische (Coulomb) Kraft10

Gravitationskraft

F

F

Verhältnis der Kräfte:

Erstaunlich! Die elektrischeKraft ist um den Faktor 10 hoch39 größer als die Gravitationskraft!

Wir wissen, dass die Atome von Materie in Elementarladungen, d.h. Protonen und Elektronen, zerlegbar sind.

Wenn dies das Kräfteverhältnis zwischen der elektrischen Kraft und Gravitationskraft ist, welches zwischen einem Elektron und einem Proton wirkt, dann sollten wir auch enorme Kräfte vermuten, die um uns herum wirken.

Dies kann man aber nicht beobachten.

Wir kennen zwar die elektrischen Reibungskräfte, die auf unsere Haare wirken, wenn wir einen Pullover aus- oder anziehen, aber dies sind auch die einzigen Kräfte, die wir im normalen Alltag beobachten.



Experiment: Betrachte zwei Student(inn)en, die im Abstand von r = 1 m sitzen und deren Köpfe elektrisch geladen sind. Wir bestimmen nun die elektrische Kraft, die auf die beiden Köpfe wirkt, wobei wir die Köpfe durch zwei Punktladungen approximieren.

Menschlicher Körper

Wasser

jedes Wassermolekül

10 Elektronen 10 Protonen

Volumen des Kopfes

3 3 310 cm 10 mV

28 3

Elektronendichte

10 Atome/m

2510 Atome

10 Elektronen pro Atom

25 2610 10 10 Elektronen pro Kopf

23

Annahme :1 Promille freier überschüssiger

Elektronen 10 Elektronen pro Kopf

231

19 23

4

10

1,602 10 10 As

1,602 10 As

Q e

181 2e e 2

10 NQ Q

F kr

41

42

10 As

10 As

Q

Q

18,Erde 10 NgF

Gravitationskraft der Erdekönnte in dieser

Größenordnung liegen!

Warum erleben wir diese Kraftwirkung zwischen unseren Köpfen nicht?

Wo ist die Rechnung fehlerhaft?

1 Promille freier überschüssigerElektronen ist falsch!

Der menschliche Körper ist elektrisch(fast immer) neutral.


Feldbeschreibung: Koordinatensysteme

Die Angabe einer Feldgröße als Funktion des Raumpunktes kann erfolgen

► allgemein koordinatenfrei durch einen Ortsvektor ( z. B. ). Vorteil: nicht an ein spezielle Koordinatensystem gebunden.

► in einem speziellen Koordinatensystem z.B. kartesisch, zylindrisch und sphärisch Zur Lösung spezieller Problemstellungen notwendig.

Koordinatensysteme (KOS):

► Kartesisches Koordinatensystem mit den Koordinaten x, y, z

► Zylinderkoordinatensystem mit den Koordinaten ρ, φ, z

► Kugelkoordinatensystem mit den Koordinaten r, , φ

r

e ( ), ( )r F r44444444444444444444444444 44

xy

z

xe

ye

ze

z

x

( )e

e

ze

y

, ,x y z , , z

y

z

x

e

,re

,e

, ,r

r


Koordinatensysteme (KOS): Kartesisches Koordinatensystem

x

y

z

r

xe

ye

ze

xx e

x y zr x e y e z e

yy e

zz e

P

Orthonormale Einheitsvektoren

x

y

z

e

e

e

Koordinaten

x xy yz z

Grenzen

Ortsvektor

: Zeichen

für senkrecht

x y ze e e

1x y ze e e

Orthonormal heißt, dass alle Einheitsvektoren senkrecht aufeinander stehen und die Länge Eins haben:

xe

ye

ze

OrthonormalesDreibein

r

xx e

yy e

zz e

Aufpunkt: P

Vektoraddition:


Ortsvektor

0r r r

x

y

z

r

Ortsvektor x y zr xe ye ze

0

2 2 2

x y zr xe ye zer

r x y z

Ortsvektor

Betrag des Ortsvektors

Einheitsvektor

2 2 2

x y z x y z

r r r

xe ye ze xe ye ze

x y z

r

P

01r

Skalarprodukt


Ortsvektor

2

2

0 1 0

1 0 0

x y z x y z x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

x x x y x z

y x y y y z

z

xe ye ze xe ye ze xe xe xe ye xe ze

ye xe ye ye ye ze

ze xe ze ye ze ze

x e e xy e e xz e e

yxe e y e e yz e e

zxe e

2

0 0 1

2 2 2

x z y z zzy e e z e e

x y z

x y z x y zr r r xe ye ze xe ye ze

2 2 2x y z r

: Zeichen

für senkrecht

x y ze e e

1

| | | | cos ( , )

1 1 cos 0

1

x x x x x xe e e e e e

0

| | | | cos ( , )

1 1 cos2

0

x y x y x ye e e e e e

1x y ze e e


Kartesisches Koordinatensystem

e e e e

e e e

e

, , , , , ,

, ,

x y zx y z

x y zx y z

F r F r e F r e F r e

F x y z e F x y z e F x y z e

F x y z

4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444

44444444444444

xy

z

r

e e , ,F r F x y z444444444444444444444444444444444444444444

xe

ye

ze

P

, ,e eF r F x y z444444444444444444444444444444444444444444

xe

ye

ze

P

xexF r e

Vektoraddition:

yeyF r e

zezF r e

Komponentenzerlegungdes Vektors Fe


Kartesisches KoordinatensystemVektoraddition zweier beliebiger Vektoren:

x y z x y zx y z x y z

x y zx x y y z z

x y zx y z

zx y CC C

A B A e A e A e B e B e B e

A B e A B e A B e

C e C e C e

C

4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444

44444444444444

Vektorsubtraktion zweier beliebiger Vektoren:

x y z x y zx y z x y z

x y zx x y y z z

x y zx y z

zx y DD D

A B A e A e A e B e B e B e

A B e A B e A B e

D e D e D e

D

4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444

44444444444444

A44444444444444

B44444444444444

C A B 444444444444444444444444444444444444444444

A44444444444444

D A B 444444444444444444444444444444444444444444 B

44444444444444

2 2D B A B B

A B

C

4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444

4444444444444444444444444444

44444444444444A44444444444444

D A B 444444444444444444444444444444444444444444 B

44444444444444

B44444444444444

C A B 444444444444444444444444444444444444444444

Überprüfung:


3.2.2 Elektrische Feldstärke (S. 155, CW, 6. Aufl.)

eF q44444444444444

e ( ) ( )F r q E r44444444444444444444444444444444444444444444444444444444

eFE

q

4444444444444444444444444444

N Ws/m VAs/m V= =

As As As meF

Eq

Proportionalitätsfaktor

Wirkung der Ladung Q in der Entfernung r

Damit gilt wiederum bei Kenntnis der elektrischenFeldstärke für die Kraft auf die Ladung q

Messung z.B. über Kraft

Raumzustand wird durch elektrische Feldstärke

beschrieben

(3.5)

e ( ) V( )

m

F rE r

q

44444444444444444444444444444444444444444444444444444444

Elektrische Feldstärke:

Einheit:

Probeladung

Bild 3.6. Probeladung q im Feld der Ladung Q(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 156, 2005])

eF44444444444444

q

0

e 2( )

4

Q rF r q

r

4444444444444444444444444444

0e

2

( )( )

4

F r Q rE r

q r

4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444

Q(3.3)

(3.4)


Kraft - Elektrische Feldstärke

V

meF

Eq

eF r q E r44444444444444444444444444444444444444444444444444444444

eF rE r

q

44444444444444444444444444444444444444444444444444444444

Probeladung

Kraft, die aufdie Probeladungwirk!

ElektrischeFeldstärke, die von der LadungQ erzeugt wird.

Elektrische Feldstärke

Kraft

Einheit der elektrischen Feldstärke

0r r r

Probeladung

x

y

z eF r4444444444444444444444444444

r

q

Ortsvektor

Q


Kraft - Elektrische Feldstärke

0

2

0

2

3

3

4

4

4

r

r

Q rE r

r

Q r rE r

r r

Q rE r

r

44444444444444

4444444444444444444444444444

4444444444444444444444444444

4444444444444444444444444444

0r r r

x

y

z

r

Ortsvektor

Q

Elektrische Feldstärkeam Ort , d.h. am Punkt P

Radialfeld

( , , )P r P x y z

0

3 2

r r r

r r r

eF r

E rq

4444444444444444444444444444

4444444444444444444444444444

r

0

2

2

4

1

4

Q rE r

r

QE r E r

r

4444444444444444444444444444

4444444444444444444444444444

Betrag der elektrischen Feldstärke


Beispiel 3.1: Überlagerung von Feldstärken (S. 156, CW, 6. Aufl.)

const.

1 2

0 01 21 22 2

1 2

0 01 2

1 22 21 2

1 2

1 23 31 2

4 4

1

4

1

4

E r E r E r

Q r Q r

r r

r rQ Q

r r

r rQ Q

r r

444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444

Wenn d.h. die Materialeigen-schaften linear sind, gilt auch für die Feldstärkender Überlagerungssatz (Superpositionsprinzip),allerdings in vektorieller Form:

Bild 3.7. Vektorielle Addition der von Q1 und Q2 angeregten Teilfeldstärken(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 156, 2005])

1 2E E4444444444444444444444444444

un d

1E44444444444444

2E44444444444444 E

44444444444444

2Q

1Q

01r

02r

2r

1r

1 1 1 1

1 11

1 1 1 1 1 1

2 2 21 1 1 1

x y z

x y z x y z

r x e y e z e

r r r

x e y e z e x e y e z e

r x y z

2 2 2 2

2 22

2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2 2

x y z

x y z x y z

r x e y e z e

r r r

x e y e z e x e y e z e

r x y z



1 2

1 2

1 23 31 2

1

4

E E E

r rQ Q

r r

444444444444444444444444444444444444444444


1 2E E4444444444444444444444444444

un d

1E44444444444444

2E44444444444444 E

44444444444444

2Q

1Q

01r

02r

2r

1r

1 1 1 1

2 2 21 1 1 1

x y zr x e y e z e

r x y z

2 2 2 2

2 2 22 2 2 2

x y zr x e y e z e

r x y z

1 1 1 2 2 21 23 3

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 21 23 3

2 2 2 2 2 22 21 1 1 2 2 2

1 1 2 23 3

2 2 2 2 2 22 21 1 1 2 2 2

1

4

1

4

1

4

x y z x y z

x y z x y z

x e y e z e x e y e z eE Q Q

x y z x y z

x e y e z e x e y e z eQ Q

x y z x y z

Q x Q x

x y z x y z

44444444444444

1 1 2 23 3

2 2 2 2 2 22 21 1 1 2 2 2

1 1 2 23 3

2 2 2 2 2 22 21 1 1 2 2 2

x y

z

Q y Q ye e

x y z x y z

Q z Q ze

x y z x y z



1 2E E4444444444444444444444444444

un d

1E44444444444444

2E44444444444444 E

44444444444444

2Q

1Q

01r

02r

2r

1r

1 1 2 2 1 1 2 23 3 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 21 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

1 13

2 2 2 21 1 1

1 2 1 1

1

1 1 1 1

4 4 4 4

1

4 +

x y

x x y y

z

E E E E

E

Q x Q x Q y Q yE e e

x y z x y z x y z x y z

Q z

x y z

444444444444444444444444444444444444444444

2 23

2 2 2 22 2 2

1 2 1 2 1 2

2

1

4z

x y zx x y y z z

x y zx y z

zE

Q ze

x y z

E E e E E e E E e

E e E e E e



Beispiel 3.1a: Überlagerung von Feldstärken zweier Punktladungen

1 2

1 22

21

1 22 2

2 2

22

222

44

4 4

1 1

4

1 1

4 5

4

1 1

4 5

4

y z

QQ

y z

y z

y z

y z

E r E r E r

Q Qe e

r rr r

Q Qe e

a b

Qe e

a b

Qe e

dd

Qe e

dd

444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444

1E r4444444444444444444444444444

2E r4444444444444444444444444444

E r4444444444444444444444444444

2Q Q

1Q Q01r

02r

x

y

z

r

1Qr

2Qr

a

b

11

22

,

5,

4

Q

Q

Q Q a r r d

Q Q b r r d

Gegeben:

Gesucht: 1 2E r E r E r 444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444

Lösung:

2

2

1 4

4 5y z

QE r e e

d

44444444444444444444444444444444444444444444444444444444


Elektrische Feldstärke E - Größenordnungen

100 V/m 200 V/m

1 V/m 1 mV/m

1 MV/m

1 MV/m 10 MV/m

0,1 V/m

10 kV/m 1 MV/m

30 kV/cm

E

E

E

E

E

E

E

Atmosphäre (klares Wetter)

Oberfläche einer Rundfunkempfangsantenne

Oberfläche einer Hochspannungsleitung

Kondensator

Stromführender Leiter

Halbleiter (Sperrschicht)

Durchschlagsfestigkeit von Luft


Ende der Vorlesung

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