Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 1
Grundlagen der Elektrotechnik I (GET I)
Vorlesung am 08.12.2006
Fr. 08:30-10:00 Uhr; R. 1603 (Hörsaal)
Universität Kassel (UNIK)FB 16 Elektrotechnik / Informatik
FG Fahrzeugsysteme und Grundlagen der Elektrotechnik (FG FSG)FG Theoretische Elektrotechnik (FG TET)
Büro: Wilhelmshöher Allee 71, Raum 2113 / 2115D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René Marklein
E-Mail: [email protected].: 0561 804 6426; Fax: 0561 804 6489URL: http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de
URL: http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 2
Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle
Gegeben:
Gesucht:
Gesucht sind alle Ströme über die Knotenanalyse.
1
2
3
4
5
6
Q6
3 Ω1 Ω2 Ω1 Ω5 Ω1 Ω
10 V
RRRRRRU
A
B
C
D
6I
R6U1R
1I
R1U
Q6U
6R
4I
4RR4U
5RR5U3RR3U
5I3I
2I2R
R2U
6M
4M
5M
Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 3
Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle
Lösung:
1. Spannungsquelle in Stromquelle umwandeln
Bild 2.95. Äquivalente Quellen(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 105, 2005])
Q6
10 V
U
Q6 Q6 6U I R
QU QU
6I6I
6
1 ΩR 6
1 SG
Q6 10 AI
A
C
A
C
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Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle
Bild 2.96. Dreimaschiges Netz mit einer Stromquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 106, 2005])
A
B
C
D
6I
R6U1R
1I
R1U
Q6U
6R
4I
4RR4U
5RR5U3RR3U
5I3I
2I2R
R2U
6M
4M
5M
Bild 2.76. Netz mit drei Maschen und einer Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 84, 2005])
1 2 3, ,U U U
Ergibt Netz mit unabhängigen Spannungen
Q6 10 AI 1U
6 1 SG D
6I
4I
5I
3U
2U
11 S3
G 4 1 SG
51
S5
G
C
B2 1 SG
2I
31 S2
G
3I
A
1I
Bezugspunkt!
2. Bezugspunkt festlegen und vollständigen Baum sternförmig einzeichen
G6I
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Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle
Knoten A: 1. Zeile der Leitwertmatrix bildet sich aus den LeitwertenG1 = 1 S, G4 = 1/3 S, G6 = 1 S
1
2
3
7 /3
1 1 1 S 1S 1SKnoten A 10A3
Knoten B
Knoten C
U
U
U
Q6 10 AI
1U
6 1 SG D
G6I
6I
4I
5I
3U
2U
1 S3
1 S
1 S5
C
B
1 S2I
1 S2
3I
A
1I
Quellstrom IQ6 = 10 Afließt in den Knoten
Bezugspunkt!
Knoten-leitwert
Kopplungsleitwert
Kopplungs-leitwert
Q6 10 AI
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Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle
Knoten B2. Zeile der Leitwertmatrixbildet sich aus den LeitwertenG2 = 1 S, G4 = 1 S, G5 = 1/5 S
Q6 10 AI 1U
6 1 SG D
G6I
6I
4I
5I
3U
2U
1 S
31 S
1 S5
C
B
1 S2I
1 S2
3I
A
1I
1
2
3
11/5
7Knoten A 10AS 1S 1S3
1 1Knoten B 1S 1 1 S S 0A5 5
Knoten C
U
U
U
kein Quellstrom am Knoten B
Bezugspunkt!
Knoten-leitwert
Kopplungs-leitwertKopplungsleitwert
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Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle
Knoten C3. Zeile der Leitwertmatrixbildet sich aus den LeitwertenG3 = 1/2 S, G5 = 1/5 S, G6 = 1 S
Q6 10 AI 1U
6 1 SG D
G6I
6I
4I
5I
3U
2U
1 S3
1 S
1 S5
C
B
1 S2I
1 S2
3I
A
1I
1
2
3
17 /10
7Knoten A 10AS 1S 1S3
11 1Knoten B 1S S S 0A5 51 1 11S S 1 SKnoten C 10A5 2 5
U
U
U
Bezugspunkt!
Quellstrom IQ6 = 10 Afließt von dem Knoten weg.
Knoten-leitwert
Kopplungs-leitwert
Kopplungsleitwert
Q6 10 AI
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Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle
1
2
3
Q
7 10AS 1S 1S3
11 11S S S 0A5 51 171S S S 10A5 10
U
U
U
U IG
Leitwertmatrix Spannungs-vektor
Stromvektorder Quellströme
Q
: Leitwertmatrix: Spannungsvektor
: Stromvektor
der Quellströme
GUI
Leitwertmatrixist symmetrisch!
1
2
3
7 10V1 13
11 11 0V5 51 171 10V5 10
U
U
U
1S
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Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle
1 2 3
1 2 3
10 2 17 100V119 17 17 170V
3
U U U
U U U
1 2 3
1 2 3
1 2
30 6 51 300V( ) 119 51 51 510V( ) 89 57 210V
U U UU U UU U
1 222 36 30 VU U 1 2
1 2
1 2
1254 2052 1710 V ( ) 3204 2052 7560 V( ) 1950 0 5850 V
U UU UU U
1 289 57 210 VU U
3. Zeile *10 auf 1. Zeile *17 addieren:
-> mal -57 ->
-> mal 36 ->
1 222 36 30VU U
1 2 3
1 2 3
1 2
7 10V
3( ) 5 11 0
22( ) 12 0 10V3
U U U
U U U
U U
U3 eliminieren: 2. Zeile *(-5) und auf 1. Zeile addieren:
-> mal 3 ->
-> mal 3 ->
15850 V 3V1950
U
1
2
3
7 10V1 13
11 11 0V5 51 171 10V5 10
U
U
U
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Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle
1 3VU 1
2210 V 89
57210 V 89 3 V
57210 V 267 V
5757 V
57
UU
1 289 57 210 VU U
2 1 VU
1 2 3
3 1 2
1 23
10 2 17 100V17 100V 10 2
100V 10 217
100V 10 3V 2 1V17
100V 30V 2V17
68V174V
U U UU U U
U UU
3 4VU
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Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle
1
2
3
3V
1V
4V
U
U
U
4 1 2
5 2 3
6 3 1
2V
5V
7V
U U U
U U U
U U U
Also folgt also für die 3 unabhängigen Spannungen und die 3 abhängigen Spannungen (Umlaufgleichungen):
1 1 1
3 3 3
5 5 5
3V 1A3Ω
4V2A
2Ω5V 1A5Ω
I U G
I U G
I U G
2 2 2
4 4 4
6 Q6 6 Q6 6 6
1V1A
1Ω2V 2A1Ω
1V 7V10A 3A
1Ω 1ΩG
I U G
I U G
I I I I U G
Über die Leitwerte folgen dann die Ströme:
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Beispiel 2.32: Berechnung der Ströme in einem dreimaschigen Netz mit einer Spannungsquelle
Q6 10 AI 1 3 VU
6 1 SG D
G6 7 AI
6 3 AI
4 2 AI
5 1 AI 3 4 VU
2 1 VU
11 S3
G 4 1 SG
51 S5
G
C
B2 1 SG
2 1 AI
31
S2
G
3 2 AI
A
1 1 AI
Bezugspunkt!
4
2 VU
5
5 VU
6
7 VU
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2.8.5 Vergleich zwischen Umlauf- und Knotenanalyse
Z
1
1
1
2
1
1 2
1 2 ... 1
K
K
K K
Z
K
Z
K
Z K Z
K K Z
K K K Z
K K K
Wie viele Zweige kann ein Netz mit K Knoten maximal haben?
(jeweils Maximalzahl Zweige)
Zu einem Netz mit K Knoten (oben hier K = 4) kann man mit einem weiteren Knoten (hier der Knoten E)zusätzliche Zweige hinzufügen (hier 4 zusätzliche Zweige, also so viele Zweige wie im vorherigen Netz Knoten waren:
Bild 2.98. Zur Herstellung des Zusammenhanges zwischen K und (vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 108, 2005])
Beim Übergang vonK nach K + 1 folgt
1 12KK
Z K max
12K
KZ K
A
B
C
DE
neu alt altZ K Z
11K KZ K Z
1 22K KZ K Z
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2.8.5 Vergleich zwischen Umlauf- und Knotenanalyse1B K
maxV Z B Zahl der Baumzweige bei K Knoten:Damit maximal mögliche Zahl an Verbindungszweigen:
Knoten-anzahl
K
Anzahl der Baumzweige
= Zahl der Unbekannten
KnotenanalyseB = K - 1
MaximaleAnzahl der
Zweige
Anzahl der Ver-bindungszweige
= Zahl der Unbekannten
Umlaufanalyse
2 1 1 0 (-1)
3 2 3 1 (-1)
4 3 6 3 0
5 4 10 6 2
6 5 15 10 5
7 6 21 15 9
max1
2KZ K
maxV Z B V B
Bei V > B ergibt Knotenanalyse einfacheres Gleichungssystem (weniger Unbekannte, ab K ≥ 5 möglich).Ab K = 5 Knoten ist Knotenanalyse vorteilhafter, außer wenn Spannungen und/oder Ströme vorgegeben = eingeprägt sind (damit entsprechend weniger Unbekannte).
bis zu dem die Umlaufanalyse effizienter ist, zu höheren Knotenzahlen.Wenn Zahl der Zweige deutlich kleiner als o. g. MaximalzahlZ, verschiebt sich der Punkt,
Gleicher Aufwand für Umlauf- undKnotenanalyse
Bei dieser Betrachtung werden alle Knoten nur einfach über einen Zweig verbunden!
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2.8.5 Vergleich zwischen Umlauf- und Knotenanalyse
1K 2K 3K
max
max
2 12 12
2 1 10
Z
BV Z B
max
max
3 13 32
3 1 21
Z
BV Z B
4K
max
max
4 14 62
4 1 33
Z
BV Z B
5K
max
max
5 15 102
5 1 46
Z
BV Z B
6K
max
max
6 16 152
6 1 510
Z
BV Z B
max1 1 11 0
2 21 1 1 0
0
KZ K
B KV
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 16
2.8.5 Vergleich zwischen Umlauf- und Knotenanalyse
2K
max
max
11
0
ZBV Z B
1G 3G2G
B
A
U U U
Gleiche Spannung!
Nur eine Unbekannte bei der Knotenanalyse!
… man könnte beliebig vieleBaumzweige anhängen!
Dies wird aber bei der obigenBetrachtung nicht zugelassen.
Es werden nur die Zweige betrachtet,die die Knoten nur einmal verbinden!
Bei der eben durchgeführten Betrachtung nicht erlaubt ist beispielsweise …
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 17
Beispiel 2.34: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Spannungsquelle
2
3
4
5
6
Q1
2 S3 S4 S6 S8 S7 V
GGGGG
U
Gegeben:
Gegeben sind alle Leitwerte und die Quellspannung
Gesucht:
Gesucht sind alle Spannungen über die Knotenanalyse. Das heißt, gesucht sind die Spannungen U2 und U3, da UQ1 gegeben und damit bekannt ist.
Bild 2.99. Dreimaschiges Netz mit einer idealen Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 108, 2005])
D B
C
1I
Q1U
C
6G D B
4G
3G 5G
2G
3 ?U
2 ?U
4U
5U
AA
6U
4 3 6 3 K B Z V Z B 3 3
BV
KnotenanalyseUmlaufanalyse
eigentlich führt dies jeweils auf 3 Gleichungen
mit 3 Unbekannten-> gleicher Aufwand
UQ1 ist aber gegeben, d.h. bei der Knotenanalyse sind nur 2 Unbekannte zu bestimmen, wobei bei der Umlaufanalyse 3 Unbekannte berechnet werden müssten.
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 18
Beispiel 2.34: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Spannungsquelle
Lösung:
1. Bezugspunkt festlegen2. Baum sternförmig festlegen
D B
C
1I
Q1U
C
6G D B
4G
3G 5G
2G
3U
2U
4U
5U
AA
6U
Bezugspunkt!
6G
3G
4G 5G
2G
BA C
Q1U 2 ?U 3 ?U 1I
D
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 19
Beispiel 2.34: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Spannungsquelle
4 6 4 6 Q1 1
4 2 4 5 5 2
6 5 3 5 6 3
A: B: 0C: 0
G G G G U IG G G G G UG G G G G U
3. Leitwertmatrix aufstellen 6G
3G
4G 5G
2G
BA C
Q1U2 ?U 3 ?U
1I
Die untersten zwei Zeilen führen direkt auf zwei Gln. mit zwei Unbekannten,da U1 bekannt ist ( I1 nur Platzhalter, wird zu Lösung nicht benötigt ):
2 4 5 2 5 3 4 Q1G G G U G U G U
5 2 3 5 6 3 6 Q1G U G G G U G U
2 312 6 28 VU U 2 312 6 28 VU U
2 36 17 56 VU U 2 312 34 112 VU U
328 140 V U
Zahlen eingesetzt:
(*2)
3 5 VU
3 5 VU 212 28 V 6 5 V U in erste Gl. einsetzen: 229
V6
U
D
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 20
Beispiel 2.34: Analyse eines Netzes mit 3 Maschen und einer Spannungsquelle
4 Q1 2
297V V
6
U U U
5 2 3
29 V 5 V6
U U U
6 3 Q1
5V 7V
U U U
Damit können die abhängigen Spannungen in den Verbindungszweigen berechnet werden:
413 V6
U
51 V6
U
6 2VU
Bild 2.99. Dreimaschiges Netz mit einer idealen Spannungsquelle(vgl. Clausert & Wiesemann [Bd. I, S. 108, 2005])
D B
C
1I
Q1U
C
6G D B
4G
3G 5G
2G
3U
2U
4U
5U
AA
6U
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 21
Beispiele zur Umlauf- und Knotenanalyse …
Dr.-Ing. R. Marklein - GET I - WS 06/07 - V 08.12.2006 22
Ende der Vorlesung