Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 1 Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I) Numerische Methoden

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 1

Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)

Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /

9th Lecture / 9. Vorlesung

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /

Informatik (FB 16)

Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

University of KasselDept. Electrical Engineering /

Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein


3-D FIT – Derivation of the Discrete Grid Equations / 3D-FIT – Ableitung der diskreten Gittergleichungen

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( ) (

d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

m u f d b mx y z y z x

m u l d r my x z x z y

m b r fz x y x

B t y z E t y E t z E t y E t z J t y zt

B t x z E t x E t z E t x E t z J t x zt

B t x y E t x E t y Et

) ( ) ( )m( ) ( ) ( )l m

y zt x E t y J t x y

( )( )( ) ( ) ( ) ( )m

( )( )( ) ( ) ( ) ( )m

( )( )

d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( )d

yz

xz

y

n Mn Mn n n nx y y z z x

n Mn Mn n n ny x x z z y

n Mnz x

B t y z E t E t y E t E t z J t y zt

B t x z E t E t x E t E t z J t x zt

B t x y E t Et

( )( ) ( ) ( )m( ) ( ) ( ) ( )xn Mn n n

x y y zt x E t E t y J t x y

Local grid equations in local notation / Lokale Gittergleichungen in lokaler Notation

Local grid equations in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen in globaler Gitterknotennotation



( )( )

( ) ( )0

0( ) ( )

ii

n MnM

n n

n n

S f f

S f f

S I

I f f

Local spatial shift operators / Lokale räumliche Schiebeoperatoren

( )( )( ) ( ) ( ) ( )m

( )( )( ) ( ) ( ) ( )m

( )( )

d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( )d

yz

xz

y

n Mn Mn n n nx y y z z x

n Mn Mn n n ny x x z z y

n Mnz x

B t y z E t E t y E t E t z J t y zt

B t x z E t E t x E t E t z J t x zt

B t x y E t Et

( )( ) ( ) ( )m( ) ( ) ( ) ( )xn Mn n n

x y y zt x E t E t y J t x y

( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( )

d ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

z y

z x

y x

n n n nx M y M z x

n n n ny M x M z y

n n nz M x M y

B t y z S I E t y I S E t z J t y zt

B t x z I S E t x S I E t z J t x zt

B t x y S I E t x I S E tt

( )m ( )nzy J t x y

Local grid equations in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen in globaler Gitterknotennotation

Local grid equations with local spatial shift operators in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen mit lokalen räumlichen Schiebeoperatoren in globaler Gitterknotennotation


3-D FIT – Local Spatial Shift Operators / 3D-FIT – Lokale räumliche Schiebeoperatoren

( )( ) ii

n MnMS f f

1. Simple spatial shift operation / Einfache räumliche Schiebeoperation

( ) ( )n nI f f

2. Identity operation / Identitätsoperation

3. Multiple shift operations / Zusammengesetzte Schiebeoperationen( )( ) ( ) i j

i j j i

n M Mn nM M M MS S f S S f f

Special case for / Speziell folgt für

i iM MS S I

j iM M j iM M

4. Local difference operator / Lokaler Differenzoperator

i iM MP I S

5. Local averaging operator / Lokaler Mittelungsoperator

12i iM MA I S



… in local matrix form / … in lokaler Matrixform

( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( )

d ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

z y

z x

y x

n n n nx M y M z x

n n n ny M x M z y

n n nz M x M y

B t y z S I E t y I S E t z J t y zt

B t x z I S E t x S I E t z J t x zt

B t x y S I E t x I S E tt

( )m ( )nzy J t x y

( )

( )( ) ( )

( )

( )

( ) curl

0( ) ( )d ( ) 0d

( ) 0

z y

z x

y x

n

nn nM Mx xny M M

nz M M

S RB t

S I I SB t E ty z xx z B t I S S I y E

tx y zB t S I I S

( )

( )m

( )

( )

( )

( )

( )( )m( )m

( )m

( )

( )

( )

( )

( )

( )

n

n

n

ny

nz

E t

nnxny

nz

SJ t

t

E t

J ty zx z J t

x y J t

Local grid equations with local spatial shift operators in global grid node notation / Lokale Gittergleichungen mit lokalen räumlichen Schiebeoperatoren in globaler Gitterknotennotation


3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local Matrix Form / 3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler Matrixform

( )

( )( ) ( )

( )

( )

( ) curl

0( ) ( )d ( ) 0d

( ) 0

z y

z x

y x

n

nn nM Mx xny M M

nz M M

S RB t

S I I SB t E ty z xx z B t I S S I y E

tx y zB t S I I S

( )

( )m

( )

( )

( )

( )

( )( )m( )m( )m

( )

( )

( )

( )

( )

( )

n

n

n

ny

nz

E t

nnxnxnx

SJ t

t

E t

J ty zx z J t

x y J t

0 0

0 0 curl

0 0

z y z y

z x z x

y x y x

M M M M

M M M M

M M M M

S I I S P P

I S S I P P

S I I S P P



( ) ( ) ( )m

d ( ) curl ( ) ( )d

n n nS B t R E t S J tt

3 3

( ) 3

Diagonal matrix of elementary surfaces on the grid /Diagonalmatrix der Elementarflächen auf dem Gitter Algebraic magnetic flux density vector /

( )Algebraischer magnetischer Flussdichte

n

GS

G

B t

3 3

3 3

vektor Topological curl operator in matrix form on the grid /

curlTopologischer Rotationsoperator in Matrixform auf dem Gitter Diagonal matrix of elementary lines on the grid /Diagonalm

GG

GR

( ) 3

( ) 3m

atrix der Elementarstrecken auf dem Gitter Algebraic electric field strength vector /

( )Algebraischer elektrische FeldstärkevektorAlgebraic magnetic current density vector /

( )Algebrai

n

n

G

E t

J t

scher magnetischer Stromdichtevektor

( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( ) (

( ) curl

0( ) ( )d ( ) 0 ( )d

( ) 0

z y

z x

y x

n

nn nM Mx xn ny M M y

nz zM M

S RB t

P PB t E ty z xx z B t P P y E t

tx y zB t EP P

( ) ( )

m

( ) ( )( )m( )m( ))m

( ) ( )

( )

( )

( )( )n n

n nnxnxnnx

SE t J t

J ty zx z J t

x y J tt

Faraday’s induction law in local matrix form / Faradaysches Induktionsgesetz in lokaler Matrixform



1x x3z x2y x

( )nxE

( )nzB

( )nyB

( )yn MzB

( )zn MyB

( )nzB

( )yn MzB

1x x 3z x

2y x

integration cell / -Integrationszelle( )mxE

I ( )mxE

I

z

y

( )zn MyB

( )nxE

( )nyB

( )nm( )yn Mm

( )y zn M Mm ( )zn Mm

( )

( )

y

y

n M

n M

ε

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( )

n

n

ε

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( )

y z

y z

n M M

n M M

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( )

z

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n M

n M

ε

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( )nm

( )yn Mm

( )y zn M Mm

( )zn Mm

ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt

ε R E R dS ν R B R dR J R dS



( )

3 3

( ) ( , ) ( ) ( , ) d

( ) ( , ) d

( ) ( ) d

xS S

xx xSnx xxS

t t S

E t S

E t S

y z y z

ε R E R dS e ε R E R

R R

R

( )

( ) ( )( )( )

( )

( ) d

14

y y zz

nxx

xxS

n M n M Mn Mnxx xx xx xx

nxx

S

y z

y z

R

( ) 3 3( )

( ) ( , )

( )

Snnxxx

t

E t y z y z y z

ε R E R dS

e

3 3( )e

( , )

( )

S

nx

t

J t y z y z y z

J R dS

ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


( )nzB

( )yn MzB

1x x 3z x

2y xintegration cell / -Integrationszelle( )mxE

I ( )mxE

I

z

y

( )zn MyB

( )nxE

( )nyB

( )nm( )yn Mm

( )y zn M Mm 3( )n Mm

( )

( )

y

y

n M

n M

ε

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( )

n

n

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y z

y z

n M M

n M M

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n M

n M

ε

ν



ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


( ) ( , ) ?C S

t

ν R B R dR

( )

( )

( )

( )

( ) ( , ) ( ) ( , ) d

( ) ( , ) d

( ) ( , ) d

( ) ( , ) d

u

f

d

b

yy yC S C

zz zC

yy yC

zz zC

t B t y

B t z

B t y

B t z

ν R B R dR R R

R R

R R

R R

( )bzB

( )fzB

1x x 3z x

2y xintegration cell / -Integrationszelle( )mxE

I ( )mxE

I

z

y

( )dyB

( )nxE

( )uyB

( )nm( )yn Mm


( )

( )

y

y

n M

n M

ε

ν

( )

( )

n

n

ε

ν

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y z

y z

n M M

n M M

ε

ν

( )

( )

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z

n M

n M

ε

ν

d d dd d

d d

x

y y

z z

S y zR y

R z

dS n edR s e

dR s e

( )

( )

( )

( )

( ) ( , ) ( ) ( , )

( ) ( , )

( ) ( , )

( ) ( , )

u

f

d

b

C S C

C

C

C

t t

t

t

t

ν R B R dR ν R B R dR

ν R B R dR

ν R B R dR

ν R B R dR



( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) (

3( )

3( )

3( )

( )

( ) ( , ) d ( ) ( )d

( ) ( , ) d ( ) ( ) d

( ) ( , ) d ( ) ( ) d

( ) ( , ) d ( ) ( ) d

u u

f f

d d

b b

uyy y y yyC C

fzz z z zzC C

dyy y y yyC C

bzz z z zzC C

B t y B t y y

B t z B t z z

B t y B t y y

B t z B t z

R R R

R R R

R R R

R R R

)3z

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( , )

( ) ( , ) d ( ) ( , ) d ( ) ( , ) d ( ) ( , ) du f d b

C S

yy y zz z yy y zz zC C C C

t

B t y B t z B t y B t z

ν R B R dR

R R R R R R R R

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

1( ) d2

1( ) d2

1 ( ) d2

1( ) d2

yu

y zzf

y y zd

zb

n Mnyy yy yyC

n M Mn Mzz yy yyC

n M n M Myy zz zzC

n Mnzz zz zzC

y y

z z

y y

z z

R

R

R

R



ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


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( )yn MzB

1x x 3z x

2y x


I ( )mxE

I

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y

( )zn MyB

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y

y

n M

n M

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( )

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n

n

ε

ν

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y z

n M M

n M M

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z

z

n M

n M

ε

ν

( )

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( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) (

( ) ( , )

1 ( )2

1 ( )2

12

y

nyy

y zz z

n M yyy

y y z

n Mzzz

C S

n Mn nyy yy y

n M Mn M n Myy yy y

n M n M M nzz zz z

t

B t y

B t y

B

ν R B R dR

( )

)

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )

1 ( )2

( ) ( )

( ) ( )

y

z

nzz

y y

z y

M

n Mn nzz zz z

n n M n Mnyy yyy y

n M nn M nzz zzz z

t z

B t z

B t y B t y

B t z B t z



ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt



I ( )mxE

I

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )e

( ) ( )( ) ( ) ( )e

d ( ) ( ) ( )d

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

z z

y y

z y

n n n M n Mn nxx yy yyx y y

n M nn M n nzz zzz z x

n nn n nyy zzM y M z x

E t y z B t y B t yt

B t z B t z J t y z

I S B t y S I B t z J t y z



1x x3z x2y x

( )nzB

( )xn MzB

( )nm

( )zn Mm

( )xn Mm

( )x zn M Mm

ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


( )nyE

( )nxB

( )zn MxB

( )nzB

( )xn MzB

( )nyE

( )nxB

( )zn MxB

( )xn Mm ( )nm

( )zn Mm ( )x zn M Mm

( )

( )

n

n

ε

ν

( )

( )

x

x

n M

n M

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( )

( )

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n M

n M

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ν

( )

( )

x z

x z

n M M

n M M

ε

ν

integration cell / -Integrationszelle( )myE

I ( )myE

I

1x x3z x2y x



1x x3z x2y x

( )nzE

( )nyB ( )xn M

yB

( )nm

( )yn Mm ( )x yn M Mm

ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


( )xn Mm

( )nxB

( )yn MxB

( )nyB

( )xn MyB

( )nzE

( )yn MxB

( )nxB

( )x yn M Mm ( )yn Mm

( )xn Mm

( )

( )

x x

x x

n M M

n M M

ε

ν

( )

( )

y

y

n M

n M

ε

ν

( )

( )

x

x

n M

n M

ε

ν

1x x

2y x

3z x

( )nm

( )

( )

n

n

ε

ν

integration cell / -Integrationszelle( )mzE

I ( )mzE

I



ed ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d S C S S

t t tt


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )e

( ) ( )( ) ( ) ( )e

( ) (( )

d ( ) ( ) ( )d

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

d ( )d

z z

y y

z y

n n n M n Mn nxx yy yyx y y

n M nn M n nzz zzz z x

n nn n nyy zzM y M z x

n nnyy xxy

E t y z B t y B t yt

B t z B t z J t y z

I S B t y S I B t z J t y z

E t x zt

3 3) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )ey

( ) ( )( ) ( ) ( )e

( ) ( ) ( ) (( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

d ( ) ( )d

z

x x

z x

y

M nn M nxxx x

n n M n Mn nzz zzz z

n nn n nxx zzM x M z y

n n n M nn nzz xx xxz x x

B t x B t x

B t z B t z J t x z

S I B t x I S B t z J t y z

E t x y B t x Bt

)

( ) ( )( ) ( ) ( )e

( ) ( )( ) ( ) ( )e

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

y

x x

y x

M

n M nn M n nyy yyy y z

n nn n nxx yyM x M y x

t x

B t y B t y J t x y

I S B t x S I B t y J t x y



( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

curl

( )d ( )d

( )

0

0

0

nn

z y

z x

y x

n nxx xn nyy y

n nzz z

SE t

M M

M M

M M

E ty zx z E t

tx y E t

I S S I

S I i S

I S S I

( )

( )

( ) ( ) ( )e

( ) ( ) ( )e

( ) ( )( )e

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )n

n

n n nxx x xn n nyy y x

n nnxzz z

R SB t

B t J tx y zy B t x z J t

z x y J tB t

( )e ( )nJ t

0 0

0 0 curl

0 0

z y z y

z x z x

y x y x

M M M M

M M M M

M M M M

I S S I P P

S I i S P P

I S S I P P



( )( )

( ) ( )( )

( ) (( )

( ) ( )

( ) curl

0( )

( ) 0

( ) 0

z y

z x

y x

nn

n nnxx xxM Mxn nyy yyy M M

n nzz z M M

SE t

P PE ty zdx z E t P Pdt

x y E t P P

( ) ( )

( ) e

( ) ( )e

) ( ) ( )e

( ) ( )( )e

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )n n

n

n nx x

n n ny x

n nnxzz z

R SB t J t

B t J tx y zy B t x z J t

z x y J tB t

( ) ( ) ( )( ) ( )

ed ( ) curl ( ) ( )d

n n nn nS E t R B t S J tt

( ) 3 3

3 3

Diagonal matrix of permittivities on the grid /

Diagonalmatrix der Permittivitäten auf dem Gitter

Diagonal matrix of elementary surfaces on the grid /

Diagonalmatrix der Elementarflä

n G

G

GS

( ) 3

3 3

chen auf dem Gitter Algebraic electric field strength vector /

( )Algebraischer elektrischer Feldstärkevektor

Topological curl operator in matrix form on the grid /curl

Topologischer Rota

n

G

E t

G

( ) 3 3

3 3

tionsoperator in Matrixform auf dem Gitter

Diagonal matrix of impermeabilities on the grid /

Diagonalmatrix der Impermeabilitäten auf dem Gitter

Diagonal matrix of elementary lines o

n

G

G

G

R

( ) 3

( ) 3e

n the grid /

Diagonalmatrix der Elementarstrecken auf dem Gitter Algebraic magnetic flux density vector /

( )Algebraischer magnetischer FlussdichtevektorAlgebraic electric current d

( )

n

n

G

G

B t

J t

ensity vector /

Algebraischer elektrischer Stromdichtevektor


3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local and Global Matrix Form /

3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler und globaler Matrixform

( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( )( ) ( )e

d ( ) curl ( ) ( )dd ( ) curl ( ) ( )d

n n n

n n nn n

S B t R E t S J tt

S E t R B t S J tt

Discrete grid equations in local matrix form / Diskrete Gittergleichungen in lokaler Matrixform

m

e

d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

S B curl R E S J

ε S E curl ν R B S J

Discrete grid equations in global matrix form / Diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform

m

e

d ( , ) ( , ) ( , )dd ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d

S C S S

S C S S

t t tt

t t tt

B R dS E R dR J R dS


Maxwell’s equations in integral form / Maxwellsche Gleichungen in Integralform


Elementary Difference Matrix [Pi] (P Matrix) / Elementare Differenzmatrix [Pi] (P-Matrix)

Elementary difference operator in global matrix form (P matrix) / Elementarer Differenzoperator in globaler

Matrixform (P-Matrix)

: , {1, 2, , }

11 or / bzw. ; , , ; {1, 2, , }

0 else / sonst

i i jk

i i ijk

j,k N

j = kj = k M k = j M i x y z j,k N

P P

P

i

N N

P

1

1

iM

The P matrix has only two bands / Die P-Matrix hat nur zwei Bänder


Elementary Difference Matrix [Pi] (P Matrix) (…) / Elementare Differenzmatrix [Pi] (P-Matrix) (…)

N N

I 1

: , { , , }

, {1, 2, , }

1 or / bzw. 0 else / sonst

, , ; {1, 2, , }

i i

ijij

i ii jk

i x y z

i j N

j = k M k = j M

i x y z j,k N

P I B

I

B

Identity matrix / Einheitsmatrix (Identitätsmatrix)

Band matrix / Bandmatrix

The P matrix can be represented by a sum of an identity matrix [I] and a band matrix [B] / Die P-Matrix kann als Summe aus einer Einheitsmatrix (Identitätsmatrix) [I] und Bandmatrix [B]

dargestellt werden

i

N N

B

1

iM

i

N N

P

1

1

iM


Properties of the Difference Matrix [Pi] (P Matrix) / Eigenschaften der Differenzmatrix [Pi] (P-Matrix)

i

N N

P1

1

iM

Ti i P PProperty / Eigenschaft

: , { , , }i i i x y z P I B

i

N N

P

1

1

iM

T

i

N N

P1

1

iM

T

i

N N

P1

1

iM

: , { , , }i i i x y z P I B : , { , , }i i i x y z P I B

i

N N

P1

1

iM


Discrete Global Gradient, Divergence, and Curl Operator / Diskreter globaler Gradienten-, Divergenz- und

RotationsoperatorDiscrete gradient operator / Diskreter Gradientenoperator

T

T

T

3

3

x

y

z N N

x

y

z N N

P

grad P

P

P

grad P

P

TT T

3

3

: , ,

: , ,

x y zN N

x y z N N

div P P P

div P P P

Discrete divergence operator / Diskreter Divergenzoperator

TT

TT

T T

3 3

3 3

z y

z x

y xN N

z y

z x

y x N N

0 P P

curl P 0 P

P P 0

0 P P

curl P 0 P

P P 0

Discrete curl operator / Diskreter Rotationsoperator

grad grad

div div

curl curl

The matrix operators / Die Matrixoperatoren

are global matrix operators / sind globale Matrixoperatoren


Properties of the Global Matrix Operators / Eigenschaften der globalen Matrixoperatoren

T

T

T

div grad

grad div

curl curl

curl grad div curl 0

0

Some properties of the global matrix operators of the dual grid system / Einige Eigenschaften der globalen Matrixoperatoren des dualen Gittersystems

Vector identities / Vektoridentitäten

curl grad 0

curl grad 0

div curl 0

div curl 0

are conserved in the dual grid system / bleiben im dualen Gittersystem erhalten

Conservation of important vector identities / Erhaltung von wichtigen Vektoridentitäten



Consistency test / Konsistenztest

z y x

z x y

y x z

y z z y

z x x z

x y y x

0 P P P

curl grad P 0 P P

P P 0 P

P P P P

P P P P

P P P P

i j j i i j j i

j i i j

i j j i

j i i j

i j j i

j i i j i j j i

i j j

P P P P I B I B I B I B

I I I B B I B B

I I I B B I B B

I B B B B

I B B B B

I B B B B I B B B B

B B B iB



1

0 else / sonsti j

i j kl

k l M M

B B

With the property / Mit der Eigenschaft

i and j can be arbitrarily interchanged / i und j können beliebig vertauscht werden

This means that the matricesDas bedeutet, dass die Matrizen

i j j i B B B B

andund

i j j i P P P P

are commutative! kommutativ sind!

iB j B

as well asals auch

andund iP j P

i j

i j j i

i j j i

i j i j

B B

curl grad P P P P

B B B B

B B B B

0



3D-FIT – ... diskrete Gittergleichungen in lokaler und globaler Matrixform

( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( )( ) ( )e

d ( ) curl ( ) ( )dd ( ) curl ( ) ( )d

n n n

n n nn n

S B t R E t S J tt

S E t R B t S J tt

Discrete grid equations in local matrix form / Diskrete Gittergleichungen in lokaler Matrixform

m

e

d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

S B curl R E S J


Discrete grid equations in global matrix form / Diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform

m

e

d ( , ) ( , ) ( , )dd ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )d

S C S S

S C S S

t t tt

t t tt




1, 2, ,n N


3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Global Matrix Form / 3D-FIT – ... diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform

3 3

3

Diagonal matrix of elementary surfaces on the grid /Diagonalmatrix der Elementarflächen auf dem Gitter Algebraic magnetic flux density vector /

( )Algebraischer magnetischer Flussdichte

N N

N

GG

t

S

B

3 3

3 3

vektor Topological curl operator in matrix form on the grid /Topologischer Rotationsoperator in Matrixform auf dem Gitter Diagonal matrix of elementary lines on the grid /Diago

N N

N N

GG

G

curl

R

3

3m

nalmatrix der Elementarstrecken auf dem Gitter Algebraic electric field strength vector /

( )Algebraischer elektrische FeldstärkevektorAlgebraic magnetic current density vector /

( )Algebrai

N

N

G

t

t

E

J

scher magnetischer Stromdichtevektor

md ( ) ( ) ( )d

t t tt

S B curl R E S J

Faraday’s induction law in global matrix form / Faradaysches Induktionsgesetz in globaler Matrixform



md ( ) ( ) ( )d

t t tt

S B curl R E S J

3 3

3 3

diag{ } 0 0

0 diag{ } 0

0 0 diag{ }

N N

N N

N N

N N N N

y z

y zx y

x yx y

x y

y z

x z

x y

S

3 3

3 3

diag{ } 0 0

0 diag{ } 0

0 0 diag{ }

N N

N N

N N

N N N N

x

xy

yz

z

x

y

z

R

(1)

(2)

( )3

( ){ }( )( ){ }( ) ( ) { }( ) , ,

( )( )

ix

iy i

z NNi N

B tB tB tt B t B t i x y z

B tB t

B

TT

TT

T T

3 3

z y

z x

y xN N

0 P P

curl P 0 P

P P 0




md ( ) ( ) ( )d

t t tt

S B curl R E S J

(1)m

m (2)m

m m m

m ( )3m

( ){ }( )

( )( ) ( ) { }( ) , ,

( )( )

ix

iy i

z NNi N

J tJ t

J tt J t J t i x y z

J tJ t

J

(1)

(2)

( )3

( ){ }( )

( ){ }( ) ( ) { }( ) , ,

( )( )

ix

iy i

z NNi N

E tE t

E tt E t E t i x y z

E tE t

E




3 3

3 3

Diagonal matrix of permittivities on the grid /

Diagonalmatrix der Permittivitäten auf dem Gitter

Diagonal matrix of elementary surfaces on the grid /

Diagonalmatrix der Elementarfl

N N

N N

G

G

G

ε

S

3

3 3

ächen auf dem Gitter Algebraic electric field strength vector /

( )Algebraischer elektrischer Feldstärkevektor

Topological curl operator in matrix form on the grid /curl

Topologischer Rot

N

N N

G

t

G

E

3 3

3 3

ationsoperator in Matrixform auf dem Gitter

Diagonal matrix of impermeabilities on the grid /

Diagonalmatrix der Impermeabilitäten auf dem Gitter

Diagonal matrix of elementary lines

N N

N N

G

G

G

ν

R

3

3e

on the grid /

Diagonalmatrix der Elementarstrecken auf dem Gitter Algebraic magnetic flux density vector /

( )Algebraischer magnetischer FlussdichtevektorAlgebraic electric current den

( )

N

N

G

G

t

t

B

J

sity vector /

Algebraischer elektrischer Stromdichtevektor

ed ( ) ( ) ( )d

t t tt


Ampère-Maxwell’s circuital law in global matrix form / Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz in globaler Matrixform



ed ( ) ( ) ( )d

t t tt


(1)

( )

(1)

( )

(1)

( )3 3

(1) (2) ( )

(1) (2) ( )

(1) (2) ( )

diag{ , , , } 0 0

0 diag{ , , , } 0

0 0 diag{ , , , }

xx

Nxx

yy

Nyy

zz

Nzz N N

Nxx xx xx

N NN

yy yy yy NN N

Nzz zz zz N

N

3 3N N N




ed ( ) ( ) ( )d

t t tt


3 3

3 3

diag{ } 0 0

0 diag{ } 0

0 0 diag{ }

N N

N N

N N

N N N N

y z

y zx z

x zx y

y z

y z

x z

x y

S

3 3

z y

z x

y x N N

0 P P

curl P 0 P

P P 0

3 3

3 3

diag{ } 0 0

0 diag{ } 0

0 0 diag{ }

N N

N N

N N

N N N N

x

xy

yz

z

x

y

z

R

(1)e

e (2)e

e e e

e ( )3e

( ){ }( )

( )( ) ( ) { }( ) , ,

( )( )

ix

iy i

z NNi N

J tJ t

J tt J t J t i x y z

J tJ t

J




ed ( ) ( ) ( )d

t t tt


(1)

( )

(1)

( )

(1)

( )3 3

(1) (2) ( )

(1) (2) ( )

(1) (2) ( )

diag{ , , , } 0 0

0 diag{ , , , } 0

0 0 diag{ , , , }

xx

Nxx

yy

Nyy

zz

Nzz N N

Nxx xx xx

N NN

yy yy yy NN N

Nzz zz zz N

N

3 3N N N





m

e

d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

S B curl R E S J


The two discrete grid equations in global matrix form read / Die beiden diskreten Gittergleichungen in globaler Matrixform lauten

1 1m

1 1 1 1e

d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

B S curl R E S S J

E S ε curl ν R B S ε S J

1m

1 1 1e

d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

B S curl R E J

E S ε curl ν R B ε J

We arrange the last equations in the form / Wir bringen die letzten beiden Gleichungen in die Form

1

1 1 1 1 1

I

S S I

S ε S S S ε ε




m

e

d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

S B curl R E S J



1 1m

1 1 1 1e

d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

B S curl R E S S J

E S ε curl ν R B S ε S J

1m

1 1 1e

d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

B S curl R E J


We arrange the last equations in the form / Wir bringen die letzten beiden Gleichungen in die Form

1

1 1 1 1 1

I

S S I

S ε S S S ε ε





1m

1 1 1e

d ( ) ( ) ( )dd ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

B S curl R E J


Now we write these two matrix equations in matrix form and find a first-order system of differential equations / Nun schreiben wir die beiden Matrixgleichungen in Matrixform und finden das folgende

System von Differentialgleichungen erster Ordnung

d ( ) ( ) ( )d

t t tt

y A y q

with / mit

1

1 1

m1

e

Solution vector /Lösungsvektor

System matrix /Systemmat

( )( )

( )

0

0

rix

Source ve ( )(

ctor /Quellvekt

)( )or

tt

t

tt

t

By

E

S curl RA

S ε curl ν R

Jq

ε J


3-D FIT – … Solution of the Initial Value Problem (IVP) / 3D-FIT – Lösung des Anfangswertproblems (AWP)

A general solution of the initial value problem (IVP) with the initial value {y}(t0) is / Eine allgemeine Lösung des Anfangswertproblems (AWP) mit dem Anfangswert {y}(t0) ist

• implicit time integration / implizierte Zeitintegration • explicit time integration / explizite Zeitintegration

0

time integration /zeitliche Integratio

0

( )

n

( ) ( ) ( ) ( ) dt

t tt

t t t t t

y

y y A y q

Explicit time integration / Explizite Zeitintegration

time interval to be simulatedzu simulierend

[0, ]; es Zeit

i r

:nte val

t T T

Initial value / Anfangswert

0

0

0

0

( ) ( ) ( ) d

( ) ( ) ( ) d

t

t t

t

t t

t t t t

t t t t

B B B

E E E



Discretization in time on a staggered grid in time / Diskretisierung in der Zeit auf einem versetzten Gitter in der Zeit

Mid point rule / Mittelpunktsregel

( )

( 1/ 2)

( ) ( )

1( )2

t

t

nt

nt

t n t

t n t

B B B

E E E

( ) ( 1)

( 1)

1/ 2( 1/ 2) ( 1/ 2)

1/ 2

( ) d

( ) d

tt t

t

tt t

t

n tn n

t n t

n tn n

t n t

t t

t t

B B B

E E E

( 1/ 2)

( 1)

1/ 2 ( )

1/ 2

( ) d ( 1/ 2)

( ) d

B B B

E E E

tt

t

t t

t

nn t

tt n t

n t n

tt n t

t t n t t t

t t n t t t

0

0

0

0

( ) ( ) ( ) d

( ) ( ) ( ) d

t

t t

t

t t

t t t t

t t t t

B B B

E E E



( ) ( 1) ( 1/ 2)

( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )

+ { }

{ }

t t t

t t t

n n n

n n n

t

t

B B B

E E E

( 1)tn B ( )tnB1( )2{ }

tn B

1( )2tn E

1( )2tn E ( ){ } tnE

tt n t

The leapfrog structure of the algorithm in time / Die Bocksprung-Struktur des Algorithmus in der Zeit



Electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called Electromagnetic Finite Integration Technique (EMFIT) algorithm / Elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten

Elektromagnetischen Finite Integrationstechnik (EMFIT) Algorithmus

1 ( 1/ 2) ( 1/ 2)( 1/ 2)m

( ) ( 1) ( 1/ 2)

1 1 1 ( )( )(e

( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )

{ }

+ { }

{ }

{ }

t tt

t t t

ttt

t t t

n nn

n n n

nnn

n n n

t

t

B S curl R E J

B B B


E E E

Time integration / Zeitintegration

Time integration / Zeitintegration

Faraday’s induction grid equation / Faradaysche Induktionsgittergleichung

Ampère-Maxwell’s circuital grid equation / Ampère-Maxwellsche Durchflutungsgittergleichung



Electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called EMFIT algorithm / Elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten EMFIT-Algorithmus

1( ) ( 1) ( 1/ 2) ( 1/ 2)m

1 1 1 ( )( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )e

+

t t t t

tt t t

n n n n

nn n n

t

t

B B S curl R E J

E E S ε curl ν R B ε J

Time-integrated Faraday’s induction grid equation / Zeitlich integrierte Faradaysche Induktionsgittergleichung

Time-integrated Ampère-Maxwell’s circuital grid equation / Zeitlich integrierte Ampère-Maxwellsche Durchflutungsgittergleichung


3-D FIT Algorithm – Flow Chart / 3D-FIT-Algorithmus – Flussdiagramm

Start

Stop

1t tn n

t tn N

1tn

Electric current density excitation: For all excitation nodes n:

No Yes

Boundary condition: For all PEC boundary nodes n:

3-D Ampère-Maxwell’s circuital grid equation: For all nodes n inside the simulation region:

1( ) ( 1) ( 1/ 2)t t tn n nt B B S curl R E

1 1( 1/ 2) ( 1/ 2) ( ) t t tn n nt

E E S ε curl ν R B

1 ( )( 1/ 2) ( 1/ 2)

ett t nn n t

E E ε J

( 1/ 2)tn E 0

3-D Faraday‘s induction grid equation: For all nodes n inside the simulation region:



Start

Stopp

1t tn n

t tn N

1tn

Nein Ja

1( ) ( 1) ( 1/ 2)t t tn n nt B B S curl R E

1 1( 1/ 2) ( 1/ 2) ( ) t t tn n nt


1 ( )( 1/ 2) ( 1/ 2)

ett t nn n t

E E ε J

( 1/ 2)tn E 0

3D-Faraday-Gittergleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:

Elektrische Stromdichteanregung: Für alle Anregungsknoten n:

Randbedingungen: Für alle IEL-Randknoten n :

3D-Ampère-Maxwell-Gittergleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:


3-D FIT – … Normalized … Grid Equations / 3D-FIT – ... normierte ... Gittergleichungen

Normalized electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called EMFIT algorithm / Normierte elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten EMFIT-Algorithmus

( 1/ 2)( ) ( 1) ( 1/ 2)1m

1 11 ( )( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )e

+

tt t t

tt t t

nn n n

nn n n

t

t

B B S curl R E J

E E S ε curl ν R B ε J

Normalized time-integrated Faraday’s induction grid equation / Normierte zeitlich integrierte Faradaysche Induktionsgittergleichung

Normalized time-integrated Ampère-Maxwell’s circuital grid equation / Normierte zeitlich integrierte Ampère-Maxwellsche Durchflutungsgittergleichung

In a computer implementation we can neglect the integer time step counter nt. / In der Rechnerimplementierung kann der ganzzahlige Zeitschrittzähler nt unterdrückt werden.



Start

Stop

1t tn n

t tn N

1tn

Electric current density excitation: For all excitation nodes n:

No Yes

Boundary condition: For all PEC boundary nodes n:

3-D Ampère-Maxwell’s circuital grid equation: For all nodes n inside the simulation region:

1 ( )e

tnt

E E ε J

E 0

3-D Faraday‘s induction grid equation: For all nodes n inside the simulation region: 1

t

B B S curl R E

11 ( )

tnt




Start

Stopp

1t tn n

t tn N

1tn

Nein Ja

3D-Faraday-Gittergleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:

Elektrische Stromdichteanregung: Für alle Anregungsknoten n:

Randbedingungen: Für alle IEL-Randknoten n :

3D-Ampère-Maxwell-Gittergleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:

1 ( )e

tnt

E E ε J

E 0

1t

B B S curl R E

11 ( )

tnt



FIT Discretization of the 3rd and 4th Maxwell’s Equation /FIT-Diskretisierung der 3. und 4. Maxwellschen Gleichung

m

e

e

m

d ( , ) ( , ) ( , )d

d ( , ) ( , ) ( , )d

( , ) ( , )

( , ) ( , )

S C S S

S C S S

S V V

S V V

t t tt

t t tt

t t dV

t t dV


D R dS H R dR J R dS

D R dS R

B R dS R


FITMaxwell’s grid equations /

Maxwellsche Gittergleichungen

m

e

d ( ) ( ) ( )d

d ( ) ( ) ( )d

t t tt

t t tt

S B curl R E S J


?


End of Lecture 9 /Ende der 9. Vorlesung

Documents

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 9 / Vorlesung 9 - WS 2005 / 2006 1 Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I) Numerische Methoden