Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2006 / 2007 1 Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I) Numerische Methoden

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2006 / 2007 1

Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)

Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /

10th Lecture / 10. Vorlesung

Universität KasselFachbereich Elektrotechnik /

Informatik (FB 16)

Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115

D-34121 Kassel

Dr.-Ing. René [email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html

University of KasselDept. Electrical Engineering /

Computer Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory

(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71

Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel

mailto:[email protected]

http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de/

http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein


Elementary Difference Matrix [Pi] (P Matrix) /

Elementare Differenzmatrix [Pi] (P-Matrix)

Elementary difference operator in global matrix form (P matrix) / Elementarer Differenzoperator in globaler

Matrixform (P-Matrix)

: , {1, 2, , }

1

1 or / bzw. ; , , ; {1, 2, , }

0 else / sonst

i i jk

i i ijk

j,k N

j = k

j = k M k = j M i x y z j,k N

P P

P

i

N N

P

1

1

iM

The P matrix has only two bands / Die P-Matrix hat nur zwei Bänder


Elementary Difference Matrix [Pi] (P Matrix) (…) /

Elementare Differenzmatrix [Pi] (P-Matrix) (…)

N N

I 1

: , { , , }

, {1, 2, , }

1 or / bzw.

0 else / sonst

, , ; {1, 2, , }

i i

ijij

i ii jk

i x y z

i j N

j = k M k = j M

i x y z j,k N

P I B

I

B

Identity matrix / Einheitsmatrix (Identitätsmatrix)

Band matrix / Bandmatrix

The P matrix can be represented by a sum of an identity matrix [I] and a band matrix [B] / Die P-Matrix kann als Summe aus einer Einheitsmatrix (Identitätsmatrix) [I] und Bandmatrix [B]

dargestellt werden

i

N N

B

1

iM

i

N N

P

1

1

iM


Elementary Difference Matrix [Pi] (P Matrix) (…) /

Elementare Differenzmatrix [Pi] (P-Matrix) (…)

i

N N

P1

1

iM

Ti i P PProperty / Eigenschaft Property / Eigenschaft

: , { , , }i i i x y z P I B

i

N N

P

1

1

iM

T

i

N N

P1

1

iM

T

i

N N

P1

1

iM

: , { , , }i i i x y z P I B : , { , , }i i i x y z P I B

i

N N

P1

1

iM


Discrete Global Gradient, Divergence, and Curl Operator / Diskreter globaler Gradienten-, Divergenz- und

Rotationsoperator

Discrete gradient operator / Diskreter GradientenoperatorDiscrete gradient operator / Diskreter Gradientenoperator

T

T

T

3

3

x

y

zN N

x

y

z N N

P

grad P

P

P

grad P

P

TT T

3

3

: , ,

: , ,

x y zN N

x y z N N

div P P P

div P P P

Discrete divergence operator / Diskreter Divergenzoperator


TT

TT

T T

3 3

3 3

z y

z x

y xN N

z y

z x

y xN N

0 P P

curl P 0 P

P P 0

0 P P

curl P 0 P

P P 0

Discrete curl operator / Diskreter Rotationsoperator


grad grad

div div

curl curl

The matrix operators / Die Matrixoperatoren

The matrix operators / Die Matrixoperatoren

are global matrix operators / sind globale Matrixoperatorenare global matrix operators / sind globale Matrixoperatoren


Properties of the Global Matrix Operators / Eigenschaften der globalen Matrixoperatoren

T

T

T

div grad

grad div

curl curl

curl grad

div curl 0

0

Some properties of the global matrix operators of the dual grid system / Einige Eigenschaften der globalen Matrixoperatoren des dualen Gittersystems

Some properties of the global matrix operators of the dual grid system / Einige Eigenschaften der globalen Matrixoperatoren des dualen Gittersystems

Vector identities / VektoridentitätenVector identities / Vektoridentitäten

curl grad 0

curl grad 0

div curl 0

div curl 0

are conserved in the dual grid system / bleiben im dualen Gittersystem erhaltenare conserved in the dual grid system / bleiben im dualen Gittersystem erhalten

Conservation of important vector identities / Erhaltung von wichtigen Vektoridentitäten

Conservation of important vector identities / Erhaltung von wichtigen Vektoridentitäten



Consistency test / KonsistenztestConsistency test / Konsistenztest

z y x

z x y

y x z

y z z y

z x x z

x y y x

0 P P P

curl grad P 0 P P

P P 0 P

P P P P

P P P P

P P P P

i j j i i j j i

j i i j

i j j i

j i i j

i j j i

j i i j i j j i

i j j

P P P P I B I B I B I B

I I I B B I B B

I I I B B I B B

I B B B B

I B B B B

I B B B B I B B B B

B B B iB



1

0 else / sonst

i ji j kl

k l M M

B B

With the property / Mit der EigenschaftWith the property / Mit der Eigenschaft

i and j can be arbitrarily interchanged / i und j können beliebig vertauscht werdeni and j can be arbitrarily interchanged /

i und j können beliebig vertauscht werden

This means that the matricesDas bedeutet, dass die Matrizen

This means that the matricesDas bedeutet, dass die Matrizen

i j j i B B B B

andundandund

i j j i P P P P

are commutative! kommutativ sind!

are commutative! kommutativ sind!

iB j B

as well asals auch

as well asals auch

andundandund

iP j P

i j

i j j i

i j j i

i j i j

B B

curl grad P P P P

B B B B

B B B B

0


3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local and Global Matrix Form /

3D-FIT – ... diskrete Gittergleichungen in lokaler und globaler Matrixform

( ) ( ) ( )m

( ) ( ) ( )( ) ( )e

d( ) curl ( ) ( )

d

d( ) curl ( ) ( )

d

n n n

n n nn n

S B t R E t S J tt

S E t R B t S J tt

Discrete grid equations in local matrix form / Diskrete Gittergleichungen in lokaler Matrixform


m

e

d( ) ( ) ( )

d

d( ) ( ) ( )

d

t t tt

t t tt

S B curl R E S J

ε S E curl ν R B S J

Discrete grid equations in global matrix form / Diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform


m

e

d ( , ) ( , ) ( , )

d

d( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )

d

S C S S

S C S S

t t tt

t t tt

B R dS E R dR J R dS

ε R E R dS ν R B R dR J R dS

Maxwell’s equations in integral form / Maxwellsche Gleichungen in Integralform

1, 2, ,n N


3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Global Matrix Form / 3D-FIT – ... diskrete Gittergleichungen in globaler Matrixform

3 3

3

Diagonal matrix of elementary surfaces on the grid /

Diagonalmatrix der Elementarflächen auf dem Gitter

Algebraic magnetic flux density vector /( )

Algebraischer magnetischer Flussdichte

N N

N

G

G

t

S

B

3 3

3 3

vektor

Topological curl operator in matrix form on the grid /

Topologischer Rotationsoperator in Matrixform auf dem Gitter

Diagonal matrix of elementary lines on the grid /

Diago

N N

N N

G

G

G

curl

R

3

3m

nalmatrix der Elementarstrecken auf dem Gitter

Algebraic electric field strength vector /( )

Algebraischer elektrische Feldstärkevektor

Algebraic magnetic current density vector /( )

Algebrai

N

N

G

t

t

E

J

scher magnetischer Stromdichtevektor

md

( ) ( ) ( )d

t t tt

S B curl R E S J

Faraday’s induction law in global matrix form / Faradaysches Induktionsgesetz in globaler Matrixform



md

( ) ( ) ( )d

t t tt

S B curl R E S J

3 3

3 3

diag{ } 0 0

0 diag{ } 0

0 0 diag{ }

N N

N N

N N

N N N N

y z

y z

x y

x y

x y

x y

y z

x z

x y

S

3 3

3 3

diag{ } 0 0

0 diag{ } 0

0 0 diag{ }

N N

N N

N N

N N N N

x

x

y

y

z

z

x

y

z

R

(1)

(2)

( )3

( ){ }( )

( ){ }( ) ( ) { }( ) , ,

( )( )

ix

iy i

z NNi N

B tB t

B tt B t B t i x y z

B tB t

B

TT

TT

T T

3 3

z y

z x

y xN N

0 P P

curl P 0 P

P P 0




md

( ) ( ) ( )d

t t tt

S B curl R E S J

(1)m

m (2)m

m m m

m ( )3m

( ){ }( )

( )( ) ( ) { }( ) , ,

( )( )

ix

iy i

z NNi N

J tJ t

J tt J t J t i x y z

J tJ t

J

(1)

(2)

( )3

( ){ }( )

( ){ }( ) ( ) { }( ) , ,

( )( )

ix

iy i

z NNi N

E tE t

E tt E t E t i x y z

E tE t

E




3 3

3 3

Diagonal matrix of permittivities on the grid /

Diagonalmatrix der Permittivitäten auf dem Gitter


Diagonalmatrix der Elementarfl

N N

N N

G

G

G

ε

S

3

3 3

ächen auf dem Gitter

Algebraic electric field strength vector /( )

Algebraischer elektrischer Feldstärkevektor

Topological curl operator in matrix form on the grid /curl

Topologischer Rot

N

N N

G

t

G

E

3 3

3 3

ationsoperator in Matrixform auf dem Gitter

Diagonal matrix of impermeabilities on the grid /

Diagonalmatrix der Impermeabilitäten auf dem Gitter

Diagonal matrix of elementary lines

N N

N N

G

G

G

ν

R

3

3e

on the grid /

Diagonalmatrix der Elementarstrecken auf dem Gitter


Algebraischer magnetischer Flussdichtevektor

Algebraic electric current den( )

N

N

G

G

t

t

B

J

sity vector /

Algebraischer elektrischer Stromdichtevektor

ed

( ) ( ) ( )d

t t tt


Ampère-Maxwell’s circuital law in global matrix form / Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz in globaler Matrixform



ed

( ) ( ) ( )d

t t tt


(1)

( )

(1)

( )

(1)

( )

3 3

(1) (2) ( )

(1) (2) ( )

(1) (2) ( )

diag{ , , , } 0 0

0 diag{ , , , } 0

0 0 diag{ , , , }

xx

Nxx

yy

Nyy

zz

Nzz N N

Nxx xx xx

N N

Nyy yy yy N

N N

Nzz zz zz N

N

3 3N N N




ed

( ) ( ) ( )d

t t tt


3 3

3 3

diag{ } 0 0

0 diag{ } 0

0 0 diag{ }

N N

N N

N N

N N N N

y z

y z

x z

x z

x y

y z

y z

x z

x y

S

3 3

z y

z x

y xN N

0 P P

curl P 0 P

P P 0

3 3

3 3

diag{ } 0 0

0 diag{ } 0

0 0 diag{ }

N N

N N

N N

N N N N

x

x

y

y

z

z

x

y

z

R

(1)e

e (2)e

e e e

e ( )3e

( ){ }( )

( )( ) ( ) { }( ) , ,

( )( )

ix

iy i

z NNi N

J tJ t

J tt J t J t i x y z

J tJ t

J




ed

( ) ( ) ( )d

t t tt


(1)

( )

(1)

( )

(1)

( )

3 3

(1) (2) ( )

(1) (2) ( )

(1) (2) ( )

diag{ , , , } 0 0

0 diag{ , , , } 0

0 0 diag{ , , , }

xx

Nxx

yy

Nyy

zz

Nzz N N

Nxx xx xx

N N

Nyy yy yy N

N N

Nzz zz zz N

N

3 3N N N





m

e

d( ) ( ) ( )

d

d( ) ( ) ( )

d

t t tt

t t tt

S B curl R E S J


The two discrete grid equations in global matrix form read / Die beiden diskreten Gittergleichungen in globaler Matrixform lauten


1 1m

1 1 1 1e

d( ) ( ) ( )

d

d( ) ( ) ( )

d

t t tt

t t tt

B S curl R E S S J

E S ε curl ν R B S ε S J

1m

1 1 1e

d( ) ( ) ( )

d

d( ) ( ) ( )

d

t t tt

t t tt

B S curl R E J

E S ε curl ν R B ε J

We arrange the last equations in the form / Wir bringen die letzten beiden Gleichungen in die Form

We arrange the last equations in the form / Wir bringen die letzten beiden Gleichungen in die Form

1

1 1 1 1 1

I

S S I

S ε S S S ε ε





1m

1 1 1e

d( ) ( ) ( )

d

d( ) ( ) ( )

d

t t tt

t t tt

B S curl R E J


Now we write these two matrix equations in matrix form and find a first-order system of differential equations / Nun schreiben wir die beiden Matrixgleichungen in Matrixform und finden das folgende

System von Differentialgleichungen erster Ordnung

d( ) ( ) ( )

dt t t

t y A y q

with / mit

1

1 1

m

1e

Solution vector /

Lösungsvektor

System matrix /

Systemmat

( )( )

( )

0

0

rix

Source ve ( )(

ctor /

Quellvekt)

( )or

tt

t

tt

t

By

E

S curl RA

S ε curl ν R

Jq

ε J


3-D FIT – … Solution of the Initial Value Problem (IVP) / 3D-FIT – Lösung des Anfangswertproblems (AWP)

A general solution of the initial value problem (IVP) with the initial value {y}(t0) is / Eine allgemeine Lösung des Anfangswertproblems (AWP) mit dem Anfangswert {y}(t0) ist

A general solution of the initial value problem (IVP) with the initial value {y}(t0) is / Eine allgemeine Lösung des Anfangswertproblems (AWP) mit dem Anfangswert {y}(t0) ist

• implicit time integration / implizierte Zeitintegration • explicit time integration / explizite Zeitintegration

• implicit time integration / implizierte Zeitintegration • explicit time integration / explizite Zeitintegration

0

time integration /zeitliche Integratio

0

( )

n

( ) ( ) ( ) ( ) dt

t tt

t t t t t

y

y y A y q

Explicit time integration / Explizite ZeitintegrationExplicit time integration / Explizite Zeitintegration

time interval to be simulated

zu simulierend[0, ];

es Zeit

i r:

nte valt T T

Initial value / Anfangswert

Initial value / Anfangswert

0

0

0

0

( ) ( ) ( ) d

( ) ( ) ( ) d

t

t t

t

t t

t t t t

t t t t

B B B

E E E



Discretization in time on a staggered grid in time / Diskretisierung in der Zeit auf einem versetzten Gitter in der Zeit

Discretization in time on a staggered grid in time / Diskretisierung in der Zeit auf einem versetzten Gitter in der Zeit

Mid point rule / MittelpunktsregelMid point rule /

Mittelpunktsregel

( )

( 1/ 2)

( ) ( )

1( )

2

t

t

nt

nt

t n t

t n t

B B B

E E E

( ) ( 1)

( 1)

1/ 2( 1/ 2) ( 1/ 2)

1/ 2

( ) d

( ) d

tt t

t

t

t t

t

n tn n

t n t

n tn n

t n t

t t

t t

B B B

E E E

( 1/ 2)

( 1)

1/ 2 ( )

1/ 2

( ) d ( 1/ 2)

( ) d

B B B

E E E

tt

t

t t

t

nn t

tt n t

n t n

tt n t

t t n t t t

t t n t t t

0

0

0

0

( ) ( ) ( ) d

( ) ( ) ( ) d

t

t t

t

t t

t t t t

t t t t

B B B

E E E



( ) ( 1) ( 1/ 2)

( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )

+ { }

{ }

t t t

t t t

n n n

n n n

t

t

B B B

E E E

( 1)tn B ( )tnB1

( )2{ }

tn B

1

( )2tn E

1( )

2tn E ( ){ } tnE

tt n t

The leapfrog structure of the algorithm in time / Die Bocksprung-Struktur des Algorithmus in der Zeit



Electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called Electromagnetic Finite Integration Technique (EMFIT) algorithm / Elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten

Elektromagnetischen Finite Integrationstechnik (EMFIT) Algorithmus

Electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called Electromagnetic Finite Integration Technique (EMFIT) algorithm / Elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten

Elektromagnetischen Finite Integrationstechnik (EMFIT) Algorithmus

1 ( 1/ 2) ( 1/ 2)( 1/ 2)m

( ) ( 1) ( 1/ 2)

1 1 1 ( )( )(e

( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )

{ }

+ { }

{ }

{ }

t tt

t t t

ttt

t t t

n nn

n n n

nnn

n n n

t

t

B S curl R E J

B B B


E E E

Time integration / ZeitintegrationTime integration / Zeitintegration

Time integration / ZeitintegrationTime integration / Zeitintegration

Faraday’s induction grid equation / Faradaysche InduktionsgittergleichungFaraday’s induction grid equation / Faradaysche Induktionsgittergleichung

Ampère-Maxwell’s circuital grid equation / Ampère-Maxwellsche DurchflutungsgittergleichungAmpère-Maxwell’s circuital grid equation / Ampère-Maxwellsche Durchflutungsgittergleichung



Electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called EMFIT algorithm / Elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten EMFIT-Algorithmus

Electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called EMFIT algorithm / Elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten EMFIT-Algorithmus

1( ) ( 1) ( 1/ 2) ( 1/ 2)m

1 1 1 ( )( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )e

+

t t t t

tt t t

n n n n

nn n n

t

t

B B S curl R E J

E E S ε curl ν R B ε J

Time-integrated Faraday’s induction grid equation / Zeitlich integrierte Faradaysche Induktionsgittergleichung

Time-integrated Faraday’s induction grid equation / Zeitlich integrierte Faradaysche Induktionsgittergleichung

Time-integrated Ampère-Maxwell’s circuital grid equation / Zeitlich integrierte Ampère-Maxwellsche Durchflutungsgittergleichung

Time-integrated Ampère-Maxwell’s circuital grid equation / Zeitlich integrierte Ampère-Maxwellsche Durchflutungsgittergleichung


3-D FIT Algorithm – Flow Chart / 3D-FIT-Algorithmus – Flussdiagramm

Start

Stop

1t tn n

t tn N

1tn

Electric current density excitation: For all excitation nodes n:

NoNo YesYes

Boundary condition: For all PEC boundary nodes n:

3-D Ampère-Maxwell’s circuital grid equation: For all nodes n inside the simulation region:

1( ) ( 1) ( 1/ 2)t t tn n nt

B B S curl R E

1 1( 1/ 2) ( 1/ 2) ( ) t t tn n nt E E S ε curl ν R B

1 ( )( 1/ 2) ( 1/ 2)

ett t nn n t

E E ε J

( 1/ 2)tn E 0

3-D Faraday‘s induction grid equation: For all nodes n inside the simulation region:



Start

Stopp

1t tn n

t tn N

1tn

NeinNein JaJa

1( ) ( 1) ( 1/ 2)t t tn n nt

B B S curl R E

1 1( 1/ 2) ( 1/ 2) ( ) t t tn n nt E E S ε curl ν R B

1 ( )( 1/ 2) ( 1/ 2)

ett t nn n t

E E ε J

( 1/ 2)tn E 0

3D-Faraday-Gittergleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:

Elektrische Stromdichteanregung: Für alle Anregungsknoten n:

Randbedingungen: Für alle IEL-Randknoten n :

3D-Ampère-Maxwell-Gittergleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:


3-D FIT – … Normalized … Grid Equations / 3D-FIT – ... normierte ... Gittergleichungen

Normalized electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called EMFIT algorithm / Normierte elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten EMFIT-Algorithmus

Normalized electromagnetic grid equations (EMGE) of the so-called EMFIT algorithm / Normierte elektromagnetische Gittergleichungen (EMGG) des so genannten EMFIT-Algorithmus

( 1/ 2)( ) ( 1) ( 1/ 2)1

m

1 11 ( )( 1/ 2) ( 1/ 2) ( )

e

+

tt t t

tt t t

nn n n

nn n n

t

t

B B S curl R E J

E E S ε curl ν R B ε J

Normalized time-integrated Faraday’s induction grid equation / Normierte zeitlich integrierte Faradaysche Induktionsgittergleichung

Normalized time-integrated Faraday’s induction grid equation / Normierte zeitlich integrierte Faradaysche Induktionsgittergleichung

Normalized time-integrated Ampère-Maxwell’s circuital grid equation / Normierte zeitlich integrierte Ampère-Maxwellsche Durchflutungsgittergleichung

Normalized time-integrated Ampère-Maxwell’s circuital grid equation / Normierte zeitlich integrierte Ampère-Maxwellsche Durchflutungsgittergleichung

In a computer implementation we can neglect the integer time step counter nt. / In der Rechnerimplementierung kann der ganzzahlige Zeitschrittzähler nt unterdrückt werden.

In a computer implementation we can neglect the integer time step counter nt. / In der Rechnerimplementierung kann der ganzzahlige Zeitschrittzähler nt unterdrückt werden.



Start

Stop

1t tn n

t tn N

1tn

Electric current density excitation: For all excitation nodes n:

NoNo YesYes

Boundary condition: For all PEC boundary nodes n:

3-D Ampère-Maxwell’s circuital grid equation: For all nodes n inside the simulation region:

1 ( )

etn

t

E E ε J

E 0

3-D Faraday‘s induction grid equation: For all nodes n inside the simulation region:

1t

B B S curl R E

11 ( )

tn

t

E E S ε curl ν R B



Start

Stopp

1t tn n

t tn N

1tn

NeinNein JaJa

3D-Faraday-Gittergleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:

Elektrische Stromdichteanregung: Für alle Anregungsknoten n:

Randbedingungen: Für alle IEL-Randknoten n :

3D-Ampère-Maxwell-Gittergleichung: Für alle Knoten n im Simulationsgebiet:

1 ( )

etn

t

E E ε J

E 0

1t

B B S curl R E

11 ( )

tn

t

E E S ε curl ν R B


FIT Discretization of the 3rd and 4th Maxwell’s Equation /FIT-Diskretisierung der 3. und 4. Maxwellschen Gleichung

m

e

e

m

d( , ) ( , ) ( , )

d

d( , ) ( , ) ( , )

d

( , ) ( , ) d

( , ) ( , ) d

S C S S

S C S S

S V V

S V V

t t tt

t t tt

t t V

t t V


D R dS H R dR J R dS

D R dS R

B R dS R


FITMaxwell’s grid equations /

Maxwellsche Gittergleichungen

m

e

d( ) ( ) ( )

d

d( ) ( ) ( )

d

t t tt

t t tt

S B curl R E S J


?


FIT Discretization of the 3rd Maxwell Equation /FIT-Diskretisierung der 3. Maxwellschen Gleichung

( )nxE

( )nyE

( )nzB

( )nyB ( )n

zE

( )nxB

e

e

( , ) ( , ) d

( , ) ( ) ( , )

( ) ( , ) ( , ) d

S V V

S V V

t t V

t t

t t V

D R dS R

D R ε R E R

ε R E R dS R

( )nxE

( )nyE

( )nzB

( )nyB ( )n

zE

( )nxB

( )xn MxE

( )yn MyE

( )zn MzE

e

e

( , ) ( , )

( , ) ( ) ( , )

( ) ( , ) ( , )

t t

t t

t t

D R R

D R ε R E R

ε R E R R

Integral form / IntegralformIntegral form / Integralform Differential form / DifferentialformDifferential form / Differentialform

( )

( )

n

n

g G

m M

( )ng G


FIT Discretization of the 3rd Maxwell Equation (…) /FIT-Diskretisierung der 3. Maxwellschen Gleichung (...)

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S V V

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V g G

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n n n n

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div ε S E V ρ Q

div S D V ρ Q






3

: , ,x y z N N div P P Pwith / mitwith / mit


Discrete Local and Global Gradient, Divergence, and Curl Operators /

Diskrete lokale und globale Gradienten-, Divergenz- und Rotationsoperatoren

Discrete gradient operator / Diskreter GradientenoperatorDiscrete gradient operator / Diskreter Gradientenoperator

T

T

T

3

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x

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zN N

x

y

z N N

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P

P

grad P

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3

3

: , ,

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TT

TT

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z y

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P P 0

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curl P 0 P

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T

T

div grad

grad div

curl curl

curl grad

div curl 0

0

curl grad 0

curl grad 0

div curl 0

div curl 0


3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local Matrix Form / 3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler Matrixform

Electric Gauss’ grid equation – 3rd Maxwell’s grid equation in global matrix form / Elektrische Gaußsche Gittergleichung – 3. Maxwellsche Gittergleichung in globaler Matrixform

e e( ) ( ) ( )t t t div ε S E V ρ Q

3

3 3

Topological divergence operator in matrix form on the grid /

Topologischer Divergenzoperator in Matrixform auf dem Gitter

Diagonal matrix of permittivities on the grid /

Diagonalma

N N

N N

G

G

G

div

ε

3 3

3

trix der Permittivitäten auf dem Gitter


Diagonalmatrix der Elementarflächen auf dem Gitter

Algebraic electric field strength vec( )

N N

N

G

G

G

t

S

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e

tor /

Algebraischer elektrischer Feldstärkevektor

Diagonal matrix of elementary volumes on the grid /

Diagonalmatrix der Elementarvolumina auf dem Gitter

Algebraic electric charge densi( )

N N

N

G

G

t

V

e

ty vector /

Algebraischer elektrischer Ladungsdichtevektor

Algebraic electric charge vector /( )

Algebraischer elektrischer LadungsvektorNt Q


3-D FIT – … Discrete Grid Equations in Local Matrix Form / 3D-FIT – ... diskreten Gittergleichungen in lokaler Matrixform

Magnetic Gauss’ grid equation – 4th Maxwell’s grid equation in global matrix form / Magnetische Gaußsche Gittergleichung – 4. Maxwellsche Gittergleichung in globaler Matrixform

m m( ) ( ) ( )t t t div S B V ρ Q

3

3 3

Topological divergence operator in matrix form on the grid /

Topologischer Divergenzoperator in Matrixform auf dem Gitter


Diago

N N

N N

G

G

G

div

S

3

nalmatrix der Elementarflächen auf dem Gitter


Algebraischer magnetischer Flussdichtevektor

Diagonal matrix of elementary volumes on the grid /

D

N

N N

G

t

G

B

V

m

m

iagonalmatrix der Elementarvolumina auf dem Gitter

Algebraic magnetic charge density vector /( )

Algebraischer magnetischer Ladungsdichtevektor

Algebraic magnetic charge vector /( )

Algebraisc

N

N

G

t

t

Q

her magnetischer Ladungsvektor


FIT Discretization of the 3rd and 4th Maxwell’s Equation /FIT-Diskretisierung der 3. und 4. Maxwellschen Gleichung

m

e

e

m

d( , ) ( , ) ( , )

d

d( , ) ( , ) ( , )

d

( , ) ( , ) d

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S C S S

S C S S

S V V

S V V

t t tt

t t tt

t t V

t t V


D R dS H R dR J R dS

D R dS R

B R dS R

Governing Analytic EquationsMaxwell’s equations in integral form /

Maxwellsche Gleichungen in Integralform

FIT Grid EquationsMaxwell’s grid equations /

Maxwellsche Gittergleichungen

m

e

e e

m m

d( ) ( ) ( )

d

d( ) ( ) ( )

d

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t t tt

t t tt

t t t

t t t

S B curl R E S J


div ε S E V ρ Q

div S B V ρ Q


End of Lecture 10 /Ende der 10. Vorlesung

Documents

Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 10 / Vorlesung 10 - WS 2006 / 2007 1 Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I) Numerische Methoden