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3c KinematikBewegungen in einer Dimension

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Wikimania10 September 2008

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Zusammenfassung

Graphische Analyse einer 1D-Bewegung

Wenn man Luftwiderstand und Reibung vernachlässigt fallen alle Objekte in

Richtung des Erdzentrums mit der gleichen konstanten Beschleunigung, unabhängig

von ihrer Masse. Die Beschleunigung erfolgt aufgrund der Gravitation.

200 2

1v attyy ++=

Freier Fall

²m/s81.9=g

mittlerer Wert der Gravitationsbeschleunigung

2

1

v

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

cat

atRelativitätstheorie liefert

4

Schiefe EbeneBewegung mit konstanter Beschleunigung

2

0v0x

200

21x

21vxx

00

at

att

=

⇓

++=

==

Position nach 1s

Positionnach 2s

xΔ

xΔxΔ

xΔxΔ4TEST TEST TEST

Ergebnis unabhängig von der BeschleunigungVariation der Beschleunigung durch Änderung der Neigung

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Fallexperimente

Fallturm in Bremen

Höhe 110 m

Fallröhre kann evakuiert werdenFallzeit 5s

Geschwindigkeit beim Aufprall 165 km/h

Tropfen unter Mikrogravitation

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BeschleunigungswertePKW vs ICE

s²m30

12ss 3600

hkm

m 1000100

s 12h

km100

tv

PKW

PKW ===ΔΔ

=a

s²m0.51

55ssm 27.8

s 55h

km100

tv

ICE

ICE ===ΔΔ

=a

Die Gerade für das Auto ist natürlich unrealistisch (konstante Beschleunigung bis zur Endgeschwindigkeit (600 km/h)

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BeschleunigungswertePKW vs Flugzeug

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Ortsverschiebungin Abhängigkeit von der Geschwindigkeit

( ) ( )( ) ttx

tTtxxxx

kk ΔvΔv0vΔ

ΔΔΔ

1110

21

=−⋅+−⋅=

+=

( )

Geschwindigkeit ergibt sich aus Änderung der Ortskoordinate

⇒=→=→= txtx

dtdx vΔΔ

ΔΔvtv

const v

Geschwindigkeit ändert sich grob

allgemein

∑

∑∑

=→

==

=−

==−

⋅=−

N

00Δ

N

0

N

0

Δvlim

ΔvΔ

ΔN

kktif

kk

kkif

if

txx

txxx

ttt gleiche Zeitintervalle

if

if

ttt

xxx

−=

−=

Δ

Δ

consttx

txx f

i

t

tif

+=

=−

∫∫d v(t)

d v(t)

analog für Geschwindigkeit in Abhängigkeit von a(t)

Integration

Verschiebung ist grün markierte Fläche unter der Kurve

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Senkrechter Wurf

Haben die beiden Steine an der Stelle des roten Pfeils eine andere Geschwindigkeit?

Fall AWurf senkrecht nach oben mit v=13 m/s

Fall BWurf senkrecht nach unten mit v=13 m/s

y

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Senkrechter Wurf

Fall AWurf senkrecht nach oben mit v=13 m/s

( )

( )

( ) m15.53ss²m9.81

213s

sm130m)s3(

m38.62ss²m9.81

212s

sm130m)s2(

10m.81ss²m9.81

211s

sm130m)s1(

²21v

²21v

2

2

2

00

00

−=−+==

=−+==

=−+==

−+=

++=

ty

ty

ty

gttyy

attyy

sm43.16s3

s²m9.81

sm133s)v(t

sm62.6s2

s²m9.81

sm132s)v(t

sm19.3s1

s²m9.81

sm131s)v(t

vv 0

−=−==

−=−==

=−==

−= gt

Höhe über Abwurf nach x Sekunden

Geschwindigkeit nach x Sekunden

y

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Senkrechter Wurf

Fall BWurf senkrecht nach unten mit v=13 m/s

( )( )

sm16.4

s²m²269v

5.10m)-(0s²m9.812-

sm13v²

2vv

2vv

20

20

20

20

2

±==

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−−=

−+=

yyg

yya

Wurf nach untenGeschwindigkeit in Höhe -5.10 m

Zum VergleichWurf nach oben

y

sm43.16s3

s²m9.81

sm133s)v(t

vv 0

−=−==

−= gtGeschwindigkeit des Körpers hängt nur von der Anfangsgeschwindigkeit

und der Höhe in Bezug auf einen Referenzpunkt ab.

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Richtungsweisende Bewegungenhäufige Missverständnisse

Behauptung 1Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors und des Beschleunigungsvektors stimmen immer überein!

v

a

Behauptung 2Ein Körper senkrecht nach oben geworfen

erfährt am höchsten Punkt der Kurvekeine Beschleunigung!

Dann könnte die Ballerina an diesem Punkt verharren!

(eine zu leichte Beute für die Jäger)

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Extreme Beschleunigungen

Colonel Strapp wurde auch bekannt als Urheber von Murphys Gesetz

We do all of our work in consideration of Murphy's Law

Raketenwagen

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Extreme Beschleunigungen

Extreme Beschleunigungen werden oft in Einheit der Erdbeschleunigung g=9.81 m/s² angegeben.

46.2 g=450 m/s²Achterbahn zum Vergleich: etwa 3g

Beschleunigung

Abbbremsung

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Extreme Beschleunigungen

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Extreme BeschleunigungenDrei Minuten bis zum Stillstand

37.36.040 m

37:23 min

38:06 min

39:39 min

39:54 min

40:15 min

ta

ΔΔ

=v

sm 0.5144kn 1 =

Zeit

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Extreme Beschleunigungen

37.36.040 m

37.23 m

38.06 m

39.39 m

39.54 m

40.15 m

BeschleunigungΔv/ Δt=0.014 m/s²

BeschleunigungΔv/ Δt=0.037 m/s²

BeschleunigungΔv/ Δt=0.040 m/s²

BeschleunigungΔv/ Δt=0.067 m/s²

Solche Beschleunigungswerte sind nicht geeignet für Actionfilme

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Allgemeine FormGeschwindigkeit und Beschleunigung ändern sich mit der Zeit

∫∫ =t

t

x

x

(t)dtdx00

v

∫+=t

t

(t)dtxx0

v0

∫+=t

t

dtxx0

00 v

∫+=t

t

t)dta0

(vv 0

∫+=t

t

dta0

00vv

( )[ ]∫ −++=t

t

dtttaxx0

0000 v

( )000 v ttxx −+= ( ) ( )200000 21v ttattxx −+−+=

SpezialfallGeschwindigkeit konstant

SpezialfallBeschleunigung konstant

( )000vv tta −+=

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Zusammenfassung

Kinematk beschreibt die Bewegung von Körpern

Die Beschreibung muss immer in Bezug auf ein Referenzsystem erfolgen.In der Regel ist dies die Erde. Andere Systeme sind möglich und erleichtern möglicherweise die Analyse.

Translation ist die Änderung der Position eines Körpers.

tx

avg ΔΔ

=v

Die instantane Geschwindigkeit ist die mittlere Geschwindigkeit in einem infinitesimalen

Zeitintervall.

xdtd

== xv &

Die mittlere Geschwindigkeit eines Körpers ist die zugelegte Strecke in einer bestimmten Zeit.

Die instantane Beschleunigung ist die mittlere Beschleunigung in einem infinitesimalen

Zeitintervall.

vvdtda == &

Bei konstanter Beschleunigung in einer Dimension sind die Beschleunigung a, die Geschwindigkeiten v,

v 0 und die Positionen x, x 0 gegeben durch

( )020

2

0

2vv

vv

xxa

at

−+=

+=

2vvv

²21vxx

0

00

+=

++= att

Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit Δt in einem bestimmten Zeitintervall. Die mittlere

Beschleunigung in einem Zeitintervall Δt ist

taavg Δ

Δ=

v

Körper die vertikal nach oben oder vertikal nach unten in der Nähe der Erdoberfläche beschleunigt werden, erfahren eine konstante Beschleunigung

durch die Gravitation. Der Wert der Gravitationsbeschleunigung ist 9.81 m/s². Dabei

vernachlässigt man den Luftwiderstand.